對一道幾何概型概率題的探究

王丹

試題展現，拋磚引玉

例 若函數[y=k（x+1）]的圖象上存在點[x，y]滿足約束條件[x-y+3≥0，3x-y-3≤0，y≥3，]則函數[y=k（x+1）]的圖象與圓[（x-4）2+][（y-3）2=2]有公共點的概率為（ ）

A. [12] B. [34]

C. [3-12] D. [3+14]

解法1 記樣本空間為[Ω]，“函數[y=k（x+1）]的圖象與圓[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共點”為事件[A]，

根據數形結合，[y=k（x+1）]可以理解為平面直角坐標系中過定點[（-1，0）]的動直線，

要使[y=k（x+1）]的圖象上存在點滿足約束條件，只需[k∈33，3]即可，

而欲使[y=k（x+1）]的圖象與圓[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共點（如下圖所示），

只需[5k-31+k2≤2?723≤k≤1.]

因此，[Ω=k33≤k≤3，][A=k33≤k≤1.]

故[P=1-333-33=3-12].

解法2 從直線[y=k（x+1）]傾斜角的角度可知，

要使[y=k（x+1）]的圖象上存在點滿足約束條件，只需[α∈][π6，π3，]

而欲使[y=k（x+1）]的圖象與圓[（x-4）2+（y-3）2=2]有公共點，

只需[α∈][π6，π4]，

所以[P=π4-π6π3-π6=12].

以上兩種解法看似都正確，這使得很多同學感到困惑，其實也有一部分老師把它簡單地歸結為“等可能的角度不同，概率的結果也不同”，但是筆者認為：一個概率問題只會有一個結果，既然結果不同，那么它們一定是不同的問題.

問題探究，追本溯源

為了解決其中的疑慮，最好的方法是回歸教材，因為教材是教學最直接的依據，只有透徹準確地理解教材，困惑才能迎刃而解！

解法1中試驗的全部結果構成的區域為[Ω=k33≤k≤3，]滿足條件[y=k（x+1）]的圖象與圓[（x-4）2][+（y-3）2=2]有公共點的基本事件構成的區域為[A=k33≤k≤1，]由幾何概型的概率公式得，[P=1-333-33=3-12.]

而解法2中基本事件角[α]在[0，π，2]上不是均勻分布的，即基本事件角[α]不是等可能發生的.

人教A版必修3教師用書第117頁闡述：

“均勻分布是一種常用的連續型分布，它來源于幾何概型”，這說明幾何概型研究的是均勻分布的連續型隨機變量.

“值得注意的是，由計算機不能直接產生區間[a，b]上的均勻隨機數，只能通過線性變換得到；如果[X]是區間[0，1]上的均勻隨機數，則[a+（b-a）X]就是區間[a，b]上的均勻隨機數.”

解法1中的[33，3]上的隨機數[k]，與解法2中在區間[π6，π3]上的隨機數[α]之間的關系為：[k=tanα.] 它們不是線性關系，所以解法2中區間[π6，π3]上的隨機數[α]不是均勻分布的，反之亦然，故解法2是錯誤的.

應用舉例，融會貫通

變式 邊長為1的正方形[ABCD]的頂點[A，][D]分別在[x]軸、[y]軸的正半軸上移動，求[OB?OC≥1+32]的概率.

解析 過[B]作[BE⊥x]軸于點[E]，過[C]作[CF⊥y]軸于點[F]，記樣本空間為[Ω]，“[OB?OC≥1+32]”為事件[A].

設[OA=a]，則[BE=DF=a].

因為[A，][D]分別在[x]軸、[y]軸的正半軸上移動，

所以[a∈（0，1）].

易求得[AE=OD=CF=1-a2]，[OE=a+1-a2].

[∴B（a+1-a2，a）].

同理可得，[C（1-a2，a+1-a2）].

則[OB?OC=（a+1-a2，a）?（1-a2，a+1-a2）]

[=1+2a1-a2].

欲使[OB?OC≥1+32，]只需[1+2a1-a2][≥1+32.]

[?16a4-16a2+3≤0，]

[?12≤a≤32].

因此，[Ω=a0由幾何概型公式可得，[P（A）=32-121-0=3-12].

點撥 當點[A]在[x]軸上等可能移動，此時點[D]在[y]軸上跟著等可能移動，因此點[A]在[x]軸[（0，1）]上是均勻分布的，所以設出[OA=a]計算是正確的.

歸納總結

通過這類題我們可以發現，研究幾何概率一定要搞清楚到底什么是直接表示試驗隨機結果的變量，不能主觀臆斷. 解決幾何概率問題一定要分清問題中的變量哪一個是直接變化的變量，哪一個是被引發變化的變量. 只有直接表示變化的連續型均勻分布的隨機變量才是幾何概型計算的根據！