回歸方程面面觀

徐銳

回歸方程是利用數理統計中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數間相互依賴的定量關系的一種統計分析方法，運用十分廣泛. 近幾年高考所涉及的題目愈發凸顯出其應用性和問題設計的新穎、創造性，其時時刻刻在提醒我們“思路決定出路”. 同學們只有充分理解了回歸方程，冷靜分析問題的本質，才能以不變應萬變. 下面我們對高考中的不同題型進行分析和研究.

相關關系

例1 在一組樣本數據[（x1，y1），（x2，y2），]…，[（xn，yn）（n≥2），][（x1，x2，…，xn不全相等）]的散點圖中，若所有樣本點[（xi，yi）][（i=1，2，…，n）]都在直線[y=12x+1]上，則這組樣本數據的樣本相關系數為（ ）

A. -1 B. 0

C. [12] D. 1

解析 根據樣本相關系數的定義可知，當所有樣本點都在直線上時，相關系數為1.

所有樣本點[（xi，yi）（i=1，2，…，n）]都在直線[y=12x+1]上，故這組樣本數據完全正相關，故其相關系數為1.

答案 D

例2 下面的4個散點圖中，兩個變量具有相關關系的是（ ）

[④][③] [①] [②]

A. ①② B. ①③

C. ②④ D. ③④

解析 由圖可知：①是一次函數關系，不是相關關系；②中所有點在一條直線附近波動，是線性相關關系；③不具有相關關系；④在某曲線附近波動是非線性相關關系，所以兩個變量具有相關關系的是②④.

答案 C

點撥 相關關系與函數關系的區別：函數關系是一種確定性關系，體現的是因果關系；而相關關系是一種非確定性關系，體現的不一定是因果關系，可能是伴隨關系.

回歸方程的意義

例3 根據如下樣本數據：

得到的回歸方程為[y=bx+a，]則（ ）

A. [a>0] ，[b<0]

B. [a>0] ，[b>0]

C. [a<0] ，[b<0]

D. [a<0] ，[b>0]

解析 根據已知樣本數判斷線性回歸方程中的[b]與[a]的符號. 依題意畫散點圖知，兩個變量負相關，所以[b<0，][a>0.]

答案 A

例4 設某大學的女生體重[y]（單位：kg）與身高[x]（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據[（xi，yi）][（i=1，2，…，n），]用最小二乘法建立的回歸方程為[y=0.85x-85.71，]則下列結論中不正確的是（ ）

A. [y]與[x]具有正的線性相關關系

B. 回歸直線過樣本點的中心[（x，y）]

C. 若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg

D. 若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg

解析 由回歸方程為[y=0.85x-85.71]知，[y]隨[x]的增大而增大，所以[y]與[x]具有正的線性相關關系. 由最小二乘法建立的回歸方程的過程知，[y=bx+a=bx+][y-bx（a=y-bx），]所以回歸直線過樣本點的中心[（x，y），]利用回歸方程可以預測估計總體，所以D項不正確.

答案 D

點撥 本題型考查兩個變量間的相關性、最小二乘法及正相關、負相關的概念.

線形回歸方程

（1）請畫出上表數據的散點圖；

（2）請根據上表提供的數據，求出[y]關于[x]的線性回歸方程[y=bx+a]；

（3）已知該廠技術改造前[100]噸甲產品能耗為[90]噸標準煤；試根據（2）求出的線性回歸方程，預測生產[100]噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低多少噸標準煤？

解析 （1）散點圖如下：

（2）由系數公式可知，

（3）當[x=100]時，[y=0.7x+0.35=70.35]，所以預測生產[100]噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低[19.65]噸標準煤.

點撥 考查散點圖與回歸方程以及運算能力，屬于常規題.

例6 某數學老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm. 因兒子的身高與父親的身高有關，該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為 cm.

分析 本題主要考查線性回歸分析的知識，考查運用線性回歸方程解決實際問題的能力.

錯解 第一組數據為1，2，3，4，第二組數據為173，170，176，182.

這樣擬合求出的回歸方程為[y=x+3，]當這個數學老師兒子的身高[x=182]cm時，他孫子的身高[y=185]cm.

點撥 此題錯誤率較高，大家對線性回歸方程的概念理解不夠透徹，主要是不確定哪兩個變量具有相關關系. 以前學習時對回歸直線方程只要求會運用公式進行具體計算[a，b，]求出回歸直線方程即可，不要求掌握回歸直線方程的推導過程. 所做的題大都已經告訴同學們題中具有相關關系的兩個變量，只需依葫蘆畫瓢地按公式去算線性回歸方程和相關問題. 因此，同學們要認真審題，理解本質.

非線性回歸方程

例7 某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費[x]（單位：千元）對年銷售量[y]（單位：t）和年利潤[z]（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費[xi]和年銷售量[yi（i=1，2，…，8）]數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

（1）根據散點圖判斷，[y=a+bx]與[y=c+dx]哪一個適宜作為年銷售量[y]關于年宣傳費[x]的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立[y]關于[x]的回歸方程；

（3）已知這種產品的年利率[z]與[x，y]的關系為[z=0.2y-x.]根據（2）的結果回答下列問題：

①年宣傳費[x=49]時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

②年宣傳費[x]為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數據[（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），]其回歸線[v=α+βu]的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

[β=i=1n（ui-u）（vi-v）i=1n（ui-u）2，α=v-βu.]

解析 （1）由散點圖可以判斷，[y=c+dx]適合作為年銷售[y]關于年宣傳費用[x]的回歸方程類型.

（2）令[w=x，]先建立[y]關于[w]的線性回歸方程，

由于[d=i=18（wi-w）（yi-y）i=18（wi-w）2=108.816=68，]

[∴c=y-dw=563-68×6.8=100.6.]

[∴y]關于[w]的線性回歸方程為[y=100.6+68w，]

[∴y]關于[x]的回歸方程為[y=100.6+68x.]

（3）①由（2）知，當[x=49]時，年銷售量[y]的預報值：

[y=100.6+6849=576.6，]

[z=576.6×0.2-49=66.32.]

②根據（2）的結果知，年利潤[z]的預報值：

[z=0.2（100.6+68x）-x=-x+13.6x+20.12，]

∴當[x=13.62=6.8，]即[x=46.24]時，[z]取得最大值.

故宣傳費用為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

點撥 本題考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應用，是源于課本的試題類型. 解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據散點圖選擇合適的函數類型，設出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數據換元后的值，然后根據線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數，即可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測.

回歸分析的一般步驟：（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；（2）畫散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）；（3）由經驗確定回歸方程的類型（如觀察到的數據呈線性關系，再選用線性回歸方程）；（4）按一定規則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）；（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數據對應殘差過大，或殘差呈現不隨機的規律性等等）.