二項分布及其應用

王進

二項分布及其應用是概率與統計中的重要內容之一，是初步統計、高中必修課內容的深入和擴展，也是近幾年高考數學試題中的必考題. 本文將對“二項分布及其應用”的核心考點進行深入解讀.

條件概率

例1 在某次外交談判中，中外雙方都為了自身的利益而互不相讓，這時對方有個外交官提議以拋擲一顆骰子決定. 若已知出現點數不超過3的條件下再出現點數為奇數，則按對方的決議處理；否則按中方的決議處理，假如你在現場，你會如何抉擇？

解析 設[A]={出現的點數不超過3}={1，2，3}，[B=]{出現的點數是奇數}={1，3}，由條件概率的定義得，[P（B|A）=P（AB）P（A）][=1312=23]，所以對方外交官的提議不利于中方.

例2 某地區氣象臺統計，該地區下雨的概率為[415]，刮風的概率為[215]，既刮風又下雨的概率為[110]. 設[A]為下雨，[B]為刮風，求（1）[P（A|B）；]（2）[P（B|A）.]

解析 根據題意得，

[P（A）=415]，[P（B）=215]，[P（AB）=110].

（1）[P（A|B）=P（AB）P（B）=110215=110×152=34].

（2）[P（B|A）=P（AB）P（A）=110415=110×154=38].

點撥 計算條件概率[P（B|A）]有兩種方法：（1）利用縮小基本事件范圍的方法計算，可以在縮小的基本事件的范圍內，利用古典概型概率公式計算條件概率，即[P（B|A）=n（AB）n（A）]，這里[n（A）]和[n（AB）]的計數是縮小了的基本事件的范圍；（2）先根據條件概率定義，分別計算概率[P（AB）]和[P（A）]，然后根據定義可得，[P（B|A）=P（AB）P（A）].

事件的相互獨立性

例3 甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.8，計算：

（1）兩人都擊中目標的概率；

（2）其中恰有一人擊中目標的概率；

（3）至少有一人擊中目標的概率.

解析 記“甲射擊一次，擊中目標”為事件[A]，“乙射擊一次，擊中目標”為事件[B]. “兩人都擊中目標”是事件[A?B]；“恰有1人擊中目標”是[A?B]或[A?B]；“至少有1人擊中目標”是[A?B]或[A?B]或[A?B].

（1）顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標”就是事件[A?B]，又由于事件[A]與[B]相互獨立，

所以[P（A?B）=P（A）?P（B）=0.8×0.8=0.64.]

（2）“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標”包括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即[A?B]），另一種是甲未擊中乙擊中（即[A?B]）. 根據題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發生，即事件[A?B]與[A?B]是互斥的，所以所求概率為：

[P=P（A?B）+P（A?B）=P（A）?P（B）+P（A）?P（B）]

[=0.8×（1-0.8）+（1-0.8）×0.8]=0.32.

（3）法一：“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標”的概率為

[P=P（A?B）+P（A?B）+P（A?B）=0.96.]

法二：“兩人都未擊中目標”的概率是

[P（A?B）=P（A）?P（B）=（1-0.8）×（1-0.8）=0.04.]

∴至少有一人擊中目標的概率為

[P=1-P（A?B）=1-0.04=0.96].

點撥 兩個事件獨立與互斥的區別：兩個事件互斥指兩個事件不可能同時發生；兩個事件獨立指一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響.

獨立重復試驗與二項分布

例4 某單位6個員工借助互聯網開展工作，每個員工上網的概率都是0.5（相互獨立）.

（1）求至少3人同時上網的概率；

（2）至少幾人同時上網的概率小于0.3？

解析 因為6個員工上網都是相互獨立的，所以該題可歸結為[n]次獨立重復試驗與二項分布問題.

（1）法一：記“有[r]人同時上網”為事件[Ar，]則“至少3人同時上網”即為事件[A3+A4+A5+A6.] 因為[A3，][A4，A5，A6]為彼此互斥事件，所以可應用概率加法公式得，“至少3人同時上網”的概率為

[P=P（A3+A4+A5+A6）=][P（A3）+P（A4）+P（A5）+P（A6）]

=[164（C36+C46+][C56+C66）]=[2132.]

法二：“至少3人同時上網”的對立事件是“至多2人同時上網”，即事件[A0+A1+A2].因為[A0，A1，A2]是彼此互斥的事件，所以“至少3人同時上網”的概率為

[P=1-P（A0+A1+A2）=1-[P（A0）+P（A1）+P（A2）]=2132.]

（2）法一：記“至少[r]人同時上網”為事件[Br]，則[Br]的概率[P（Br）]隨[r]的增加而減少. 依題意是求滿足[P（Br）<0.3]的整數[r]的最小值.

因為[P（B6）=P（A6）=164<0.3，]

[P（B5）=P（A5+A6）=P（A5）+P（A6）=164（C56+C66）=764<0.3，]

[P（B4）=P（A4+A5+A6）=P（A4）+P（A5）+P（A6）=132>0.3，]

所以至少5人同時上網的概率小于0.3.

法二：由（1）知至少3人同時上網的概率大于0.3，至少4人同時上網的概率為

[P（X≥4）=C46（12）2+C56（12）6+C66（12）6=2132>0.3.]

至少5人同時上網的概率為

[P（X≥5）=C56（12）6+C66（12）6=764<0.3.]

所以至少5人同時上網的概率小于0.3.

點撥 （1）獨立重復試驗是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗. 在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發生，要么不發生，并且任何一次試驗中發生的概率都是一樣的.（2）在[n]次獨立重復試驗中，設事件[A]發生的次數為[X]，在每次試驗中事件[A]發生的概率為[P]，那么在[n]次獨立重復試驗中，事件[A]恰好發生[k]次的概率為[P（X=k）=CknPk][（1-P）n-k]，[k=0]，[1]，[2]…，[n]，此時稱隨機變量[X]服從二項分布. 在利用該公式時，一定要搞清是多少次試驗中發生[k]次的事件，如本題中“有3人上網”可理解為6次獨立重復試驗恰有3次發生，即[n=6，k=3.]

練 習

1. 將兩顆骰子各擲一次，設事件[A=]“兩個點數不相同”，[B=]“至少出現一個6點”，則概率[P（A|B）]等于（ ）

A. [1011] B. [511] C. [518] D. [536]

2. 從1，2，3，4，5中任取2個不同的數，事件[A=]“取到的2個數之和為偶數”，事件[B=]“取到的2個數均為偶數”，則[P（B|A）=]（ ）

A. [18] B. [14] C. [25] D. [12]

3. 已知隨機變量[X]服從二項分布[X～B（6，13），]則[P（X=2）=]（ ）

A. [316] B. [4243] C. [13243] D. [80243]

4. 甲乙兩人進行羽毛球比賽，比賽采取五局三勝制，無論哪一方先勝三局則比賽結束，假定甲每局比賽獲勝的概率均為[23，]則甲以[3][∶][1]的比分獲勝的概率為（ ）

A. [827] B. [6481] C. [49] D. [89]

5. 如圖，[EFGH]是以[O]為圓心，1為半徑的圓的內接正方形，將一顆豆子隨機地擲到圓內，用[A]表示事件“豆子落在正方形[EFGH]內”，[B]表示事件“豆子落在扇形[HOE]（陰影部分）內”，則[P（B|A）]= .

1. A 2. B 3. D

4. A 5. [14]