辨析古典概型與幾何概型

高凡亞

概率與實際生活聯系緊密，高考對概率的考查，往往以實際問題為背景. 古典概型與幾何概型的基本事件的發生都是等可能的，但古典概型的基本事件是有限個，而幾何概型的基本事件是無窮多個，準確理解古典概型和幾何概型的意義和區別，是解決這兩種概型題目的基本之道.

較為復雜的古典概型

例1 口袋里裝有兩個白球和兩個黑球，這四個球除顏色外完全相同，四個人按順序依次從中摸出一球，試求“第二個人摸到白球”的概率.

解析 把四人依次編號為甲、乙、丙、丁，把兩白球編上序號1，2，把兩黑球也編上序號1，2，于是四個人按順序依次從袋內摸出一個球的所有可能結果，可用樹形圖直觀地表示出來.

從上面的樹形圖可以看出，試驗的所有可能結果數為24，第二人摸到白球的結果有12種，記“第二個人摸到白球”為事件[A]，則[P（A）=1224=12.]

點撥 四個人摸球的可能結果數即基本事件數是有限的，每個結果發生是等可能的，因此是古典概型. 有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數. （1）基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉. （2）注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.

例2 有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本，若將其隨機地抽取并排擺放在書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率是（ ）

A. [15] B. [25] C. [35] D. [45]

解析 語文、數學只有一科的兩本書相鄰，有[2A22A22A33=48]種擺放方法.

語文、數學兩科的兩本書都相鄰，有[A22A22A33=24] 種擺放方法.

而五本不同的書排成一排總共有[A55]=120種擺放方法.

故所求概率為[1-48+24120=25].

答案 B

點撥 5本書的不同擺放方法是有限的，且每種擺放方法發生可能性相同，因此是古典概型. 求較復雜事件的概率問題時，可將所求事件轉化成彼此互斥的事件的和，或者先求其對立事件的概率，進而再用互斥事件的概率加法公式或對立事件的概率公式求解. 正難則反法就是將較為復雜的古典概型轉化為求其對立事件的概率進行求解的方法. 此類概率題目含有非常典型的“至少”“至多”等用語，正面求解分類較多或分類有困難時就可以考慮采用該方法求解.

與長度、角度有關的幾何概型

例3 （1）在等腰[Rt△ABC]中，過直角頂點[C]在[∠ACB]的內部任意作一條射線[CM]交[AB]邊于點[M]，則[AM小于AC]的概率為 .

（2）如圖，在等腰直角[△ABC]中，在線段[AB]上取一點[M]，則使得[AM]小于[AC]的概率為 .

解析 （1）在[∠ACB]內的射線[CM]是均勻分布的，所以射線[CM]在[∠ACB]內的任何位置都是等可能的. 因為[AM]的大小與點[M]在[AB]上的位置有關，為了確保[AM如圖所示，在[AB]上截取[AC=AC，]連接[CC，]則[∠ACC=∠ACC.]

在[△CAC]中，[∵∠A=45°，][∴∠ACC][=67.5°.]

故所求的概率[P=∠ACC∠ACB=67.5°90°=34.]

（2）等腰直角[△ABC]中，[AM]小于[AC]的概率 [P=ACAB=AC2AC][=22].

點撥 射線在角內轉動的位置有無限多個，點在線段上運動也有無數個位置，且每個結果都是等可能的，故兩小題都是幾何概型. 解答幾何概型問題的關鍵在于弄清楚題中的考查對象與對象的活動范圍. 當考查的對象為點時，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考查的對象為線時，涉及射線的轉動，一般用角的大小作為區域度量來計算. 要準確把握幾何概型的“測度”，正確構造度量區域.

生活中的幾何概型問題

例4 甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率.

解析 以[x]軸和[y]軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是[x-y≤14.]

在如圖所示平面直角坐標系下，[（x，y）]的所有可能結果是邊長為1的正方形區域，而事件[A]“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分表示.

由幾何概型的概率公式得，

[P（A）=SAS=12-2×（1-14）×（1-14）×1212=716.]

所以，兩人能會面的概率是[716].

點撥 甲、乙兩人達到約定地點的時間均是在一個連續區間上取值的變量，以這兩個變量的有序實數對來表示基本事件，基本事件數是無限的，且每個結果都是等可能的，故本題是幾何概型. 將實際問題轉化為幾何概型中的長度、角度、面積、體積等常見幾何概型的求解問題，構造出隨機事件[A]對應的幾何圖形，利用幾何圖形的度量來求隨機事件的概率. 根據實際問題的具體情況，合理設置參數，建立適當的坐標系，在此基礎上將試驗的每一個結果一一對應于該坐標系的點，便可構造出度量區域.

1. 甲、乙兩人各寫一張賀年卡，隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是（ ）

A. [12] B. [13] C. [14] D. [15]

2. 設不等式組[0≤x≤2，0≤y≤2，]表示的平面區域為[D]，在區域[D]內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（ ）

A. [π4] B. [π-22] C. [π6] D. [4-π4]

3. 連擲兩次骰子得到的點數分別為[m]和[n]，記向量[a=（m，n）]與向量[b=（1，-1）]的夾角為[θ]，則[θ∈（0，π2]]的概率是 .

4. 花園小區內有一塊三邊長分別是5m、5m、6m的三角形綠化地，有一只小花貓在其內部玩耍，若不考慮貓的大小，則在任意指定的某時刻，小花貓與三角形三個頂點的距離均超過2m的概率是 .

1. A 2. D 3. [712] 4. [1-π6]