隨機事件的概率

程玲

隨機事件的頻率與概率

例1 某企業生產的乒乓球被下屆奧運會指定為乒乓球比賽專用球，目前有關部門對某批產品進行了抽樣檢測，檢查結果如下表所示：

（1）計算表中乒乓球優等品的頻率；

（2）從這批乒乓球產品中任取一個，質量檢查為優等品的概率是多少（結果保留到小數點后三位）？

解析 （1）依據公式[f=mn]，計算出表中乒乓球優等品的頻率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.

（2）由（1）知，抽取的球數[n]不同，計算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數的增多，頻率在常數0.950的附近擺動，所以質量檢查為優等品的概率約為0.950.

變式1 某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統計如下：

（1）若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；

（2）在樣本車輛中，車主是新司機的占[10%]，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占[20%]，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.

解析 （1）設[A]表示事件“賠付金額為3000”元，[B]表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得：[P（A）=1501000=0.15]，[P（B）=1201000=0.12]. 由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是3000元和4000元，所以概率為[P（A）+P（B）=0.27].

（2）設[C]表示事件“投保車輛新司機獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機的有100輛，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有24輛，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為0.24，由頻率估計概率得，[P（C）=0.24].

點撥 頻率是個不確定的數，可以在一定程度上反映事件發生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發生的可能性大小. 但從大量重復試驗中發現，隨著試驗次數的增多，事件發生的頻率就會穩定于某一固定的值，該值就是概率.

隨機事件的關系

例2 一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標以數字1，2，3，4，5，6. 將這個玩具向上拋擲1次，設事件[A]表示向上的一面出現奇數點，事件[B]表示向上的一面出現的點數不超過3，事件[C]表示向上的一面出現的點數不小于4，則（ ）

A. [A]與[B]是互斥而非對立事件

B. [A]與[B]是對立事件

C. [B]與[C]是互斥而非對立事件

D. [B]與[C]是對立事件

解析 根據互斥與對立的定義作答，[A?B=][出現點數1或3，]事件[A，B]不互斥更不對立. [B?C][=?，][B?C=Ω]（[Ω]為必然事件），故事件[B，C]是對立事件.

答案 D

變式2 對飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈. 設[A={兩次都擊中飛機}，][B={兩次都沒擊中飛機}，][C={恰有一次擊中飛機}，][D={至少有一次擊中飛機}，]其中彼此互斥的事件是 ，互為對立事件的是 .

答案 [A與B，A與C，B與C，B與D B與D]

點撥 對于互斥事件要把握住不能同時發生，而對于對立事件除不能同時發生外，其并事件應為必然事件. 這些可以類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結果寫出來，看所求事件包含哪些試驗結果，從而判定所給事件的關系.

互斥事件、對立事件的概率

例3 經統計，在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數相應的概率如下：

求：（1）至多2人排隊等候的概率是多少？

（2）至少3人排隊等候的概率是多少？

解析 記“無人排隊等候”為事件[A，]“1人排隊等候”為事件[B，]“2人排隊等候”為事件[C，]“3人排隊等候”為事件[D，]“4人排隊等候”為事件[E，]“5人及5人以上排隊等候”為事件[F，]則事件[A，B，C，D，E，F]彼此互斥.

（1）記“至多2人排隊等候”為事件[G，]

則[G=A+B][+C，]

所以[P（G）=P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）]

[=0.1+0.16+0.3=0.56].

（2）法一：記“至多3人排隊等候”為事件[H，]

則[H=D+E+F，]

所以[P（H）=P（D+E+F）=P（D）+P（E）+P（F）=0.44.]

法二：記“至多3人排隊等候”為事件[H，]則其對立事件是[G，]

所以[P（H）=1-P（G）=0.44].

變式3 某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經過一扇智能門. 首次到達此門，系統會隨機為你打開一個通道. 1號通道需要1小時走出迷宮，2，3號則分別需要2，3個小時返回智能門. 再次來到智能門時，系統會隨機打開一個未到過的通道，直至走出迷宮為止.

求：（1）求走出迷宮時恰好用了1小時的概率；

（2）求走出迷宮的時間超過了3小時的概率.

解析 記“選擇1號通道”為事件[A；]

“先選擇2號通道，再選擇1號通道”為事件[B；]

“先選擇2號通道，再選擇3號通道，再選擇1號通道”為事件[C；]

“先選擇3號通道，再選擇1號通道”為事件[D；]

“先選擇3號通道，再選擇2號通道，再選擇1號通道”為事件[E.]

易知，[A，B，C，D，E]互為互斥事件，且[P（A）=13，P（B）][=P（C）=P（D）][=P（E）=16].

（1）[P=P（A）=13.]

（2）法一：[P=P（C+D+E）=P（C）+P（D）+P（E）=12.]

法二：[P=1-P（A+B）=12.]

點撥 （1）解決此類問題，首先應根據互斥事件和對立事件的定義分析出是不是互斥事件或對立事件，再選擇概率公式進行計算. （2）求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：①直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率加法公式計算；②間接法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式[P（A）=1-P（A）]求解，即用正難則反的數學思想，特別是“至多”“至少”型問題，用間接法更為簡便.

概率是反映自然規律的基本模型，當今社會，概率已經成為一個常用詞匯，為人們的決策提供依據，與我們的生活息息相關. 研究概率還涉及了必然與或然的辯證關系，是培養大家應用意識和思維能力的良好載體. 新課標下的當今教育更注重培養學生的應用意識和應用能力，學而時習之，學以致用才是學習的最終目的.