剖析數(shù)學歸納法

魯娟

數(shù)學歸納法是一種比較特別的直接證明的方法，在證明與自然數(shù)[n]（[n]取無限多個值）有關的命題時數(shù)學歸納法是一種很有效的方法；同時在高等數(shù)學中有著很重要的用途，因而成為高考的熱點和難點之一.

分析各地高考試卷可以看出，高考理科數(shù)學主要從等式（探求數(shù)列通項公式）與不等式（數(shù)列的增減性與有界性以及以自然數(shù)[n]為變量的不等式）的證明兩方面來考查數(shù)學歸納法. 現(xiàn)結合典型考題來總結解題技巧和方法，供大家參考.

當不能用一般方法求數(shù)列通項公式時，我們可以由數(shù)列前幾項的值猜想出數(shù)列的通項公式，然后用數(shù)學歸納法證明我們的猜想是正確的.

例1 設數(shù)列[an]的前[n]項和為[Sn，]滿足[Sn=2nan+1][-3n2-4n，n∈N?，]且[S3=15].

（1）求[a1，a2，a3]的最值；

（2）求數(shù)列[an]的通項公式.

解析 （1）[a1=3，a2=5，a3=7].

（2）[Sn=2nan+1-3n2-4n，] ①

當[n≥2]時，[Sn-1=2n-1an-3n-12-4n-1，] ②

①[-]②得，[an=2nan+1-2n-2an-6n-1].

整理得，[2nan+1=2n-1an+6n+1，]

即[an+1=2n-12nan][+6n+12n.]

[∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1，]

猜想[an=2n+1，][n∈N?]. 以下用數(shù)學歸納法證明：

當[n=1]時，[a1=3]，猜想成立.

假設當[n=k]時，[ak=2k+1，]

則當[n=k+1]時，

[ak+1=2k-12kak+6k+12k=2k-12k2k+1+6k+12k]

[=4k2-1+6k+12k=2k+3=2k+1+1.]

猜想也成立，所以數(shù)列[an]的通項公式為[an=2n+1，][n∈N?].

點撥 用數(shù)學歸納法證明的關鍵是需要知道遞推關系，這樣才能將[ak]與[ak+1]聯(lián)系起來，所以當已知中未給明遞推關系時，我們需要進行轉化. 如上例中由[Sn-Sn-1]這一步驟轉化出遞推關系，然后利用假設湊出“目標結論”，即證.

不等式證明

數(shù)列的增減性與有界性可以歸于不等式證明這一類，但又有其特殊之處. 直接的不等式證明相當于已知通項公式的數(shù)列不等式的證明，而數(shù)列的增減性與有界性的題目往往無法求出通項公式，只能利用遞推關系式來證明，這樣使得難度加大.

例2 設實數(shù)[c>0]，整數(shù)[p>1]，[n∈N?].

（1）證明：當[x>-1]且[x≠0]時，[1+xp>1+px]；

（2）數(shù)列[an]滿足[a1>c1p]，[an+1=p-1pan+cpan1-p，]證明：[an>an+1>c1p.]

解析 （1）用數(shù)學歸納法證明.

①當[p=2]時，[1+x2=1+2x+x2>1+2x]，原不等式成立.

②假設[p=kk≥2，k∈N?]時，不等式[1+xk>1+kx]成立.

當[p=k+1]時，

[1+xk+1=1+x1+xk>1+x1+kx]

[=1+k+1x+kx2>1+k+1x].

所以[p=k+1]時，原不等式成立.

綜合①②可得，當[x>-1]且[x≠0]時，對一切整數(shù)[p>1]，不等式[1+xp>1+px]均成立.

（2）法1：先用數(shù)學歸納法證明[an>c1p].

①當[n=1]時，由假設[a1>c1p]知，[an>c1p]成立.

②假設[n=kk≥1，k∈N?]時，不等式[ak>c1p]成立.

由[an+1=p-1pan+cpan1-p]易知，[an>0，n∈N?].

當[n=k+1]時，[ak+1ak=p-1p+cpak-p=1+1pcakp-1].

由[ak>c1p>0]得，[-1<-1p<1pcakp-1<0].

由（1）中的結論得，

[ak+1akp=1+1pcakp-1p>1+p?1pcakp-1=cakp].

因此[ak+1p>c]，即[ak+1>c1p].

所以當[n=k+1]時，不等式[an>c1p]也成立.

綜合①②可得，對一切正整數(shù)[n]，不等式[an>c1p]均成立.

再由[an+1an=1+1pcanp-1]得，[an+1an<1]，即[an+1綜上所述，[an>an+1>c1p，n∈N?].

法2：設[fx=p-1px+cpx1-p，x≥c1p]，則[xp≥c]，并且[fx=p-1p+cp1-px-p=p-1p1-cxp>0，x>c1p].

由此可見，[fx]在[c1p，+∞]上單調遞增，

因而當[x>c1p]時，[fx>f（c1p）=c1p].

①當[n=1]時，由[a1>c1p>0]，即[a1p>c]可知，

[a2=p-1pa1+cpa11-p=a11+1pca1p-1