活用二項式定理妙解題

華瑞芬

二項式定理表達式為：[（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2n][an-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn（n∈N）.] 要深入理解二項式定理，應注意以下幾點：（1）二項式中，[a]是第一項，[b]是第二項，順序不能改變；（2）展開式中有[n+1]項（比指數多1）；（3）[C0n]，[C1n]，[C2n]，…，[Crn]，…，[Cnn]是二項式系數；（4）[a]的指數是降冪，[b]的指數是升冪，兩者指數和為[n]；（5）二項式[（a-b）n]化為[[a+（-b）]n]展開時，一定要注意各項的符號規律；（6）二項式定理具有可逆性.

求特定項

例1 已知[（1+3x）n]的展開式中，末三項的二項式系數的和等于121，求展開式中系數最大的項和二項式系數最大的項.

解析 依題意有[Cn-2n+Cn-1n+Cnn=121，]整理得，[n2+n-240=0]，則[n=15].

[Tr+1=Cr15（3x）r=Cr153rxr].

設[Tr+1]與[Tr]項的系數分別為[tr+1]與[tr]，[tr+1=Cr153r，][tr=Cr-1153r-1.]

令[tr+1tr>1]，即[Cr153rCr-1153r-1=3r（15-r+1）>1]，解之得，[r<12.] 即當[r]取小于12的自然數時，都有[tr又當[r=12]時，[tr=tr+1，]即[t12=t13，]則展開式中系數最大的項是：[T12=C1115311x11，][T12=C1215312x12.]

[∵n=15，]所以二項式系數最大的項是第8項和第9項，即[T8=C71537x7，][T9=C81538x8.]

點撥 （1）二項式系數最大的項，根據二項式系數的性質，[n]為奇數時，中間兩項的二項式系數最大；[n]為偶數時，中間一項的二項式系數最大. （2）求展開式中系數最大項與求二項式系數最大項是不同的，需根據各項系數的正、負變化情況判斷，一般采用列不等式、解不等式的方法求解.

進行近似計算

例2 求1.056的近似值，使結果精確到0.01.

解析 1.056=（1+0.05）6=1+6×0.05+15×0.052+20×0.052+…=1+0.3+0.0375+0.0025+…，

其中[T4=0.0025<0.01，]可不必取了.

∴1.056≈1+0.3+0.0375≈1.34.

點撥 將看上去很復雜的求值問題巧妙地轉化為二項式定理問題，簡單、快捷地求出結果.

證明整除和求余數問題

例3 求9192除以100的所得是余數.

解析 ∵9192=（100-9）92 =10092 -[C192]10091×9+[C292]10090×92 - … -[C9192]×100×991+992，

∴要求9192被100除所得的余數，只要求992被100除所得余數即可.

∵992=（10-1）92=1092 -[C192]×1091+[C292]×1090 -…+ [C9092]×102 -[C9192]×10+（-1）92.

由于1092 -[C192]×1091 +[C292]×1090 -…+[C9092]×102 能被100整除，

∴只要求-[C9192]×10+（-1）92 =-920+1=-919=-1000+ 81被100整除所得的余數即可，顯而易見所得余數為81.

例4 證明[2n+2?3n+5n-4]能被25整除.

證明 [2n+2?3n+5n-4=4（1+5）n+5n-4]

[=4（1+C1n?5+C2n?52+…+5n）+5n-4]

[=4（C2n?52+C3n?53+…+5n）+4C1n?5][+5n]

[=4（C2n?52+C3n?53+…+5n）+25n].

以上各項均為25的整數倍，故原命題成立.

點撥 用二項式定理證明整除及求余數問題時，一般采用“配湊法”“消去法”將被除式變為有關除式的二項式形式來展開，再結合整除的有關知識來解決. 求余數時，剩余部分是負數時要進行轉換.

求系數和

例5 [（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n]的展開式中各項系數的和是（ ）

A. [2n+1-2] B. [2n+1-1]

C. [2n+1] D. [2n+1+1]

解析 令[x=1，]得[2+22+…+2n=2n+1-2.]

答案 A

例6 若[（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，]則[a0+a2+a4+…+a12=] .

解析 令[x=1，]得[a0+a1+a2+…+a12=36].

令[x=-1，]得[a0-a1+a2-…+a12=1.]

兩式相加，得[a0+a2+a4++…+a12=][12（36+1）=365.]

答案 365

例7 如果1+2[C1n]+22[C2n]+…+[2nCnn]=2187，求[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn]的值.

解析 要求式子的值，需先求[n]的值，運用二項式定理，考慮已知等式左端可化簡，得關于[n]的式子，可求[n].

∵1+2[C1n]+22[C2n]+…+[2nCnn]=[C0n?20+][C1n?]2+[C2n?]22+…+[Cnn?2n=（1+2）n=3n]，

∴[3n=2187.]

∴[n=7.]

∴[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn]

=（[C0n]+[C1n]+[C2n]+[C3n]+…+[Cnn）-C0n]

[=2n-C0n=2n-1=27-1=128-1=127.]

證明組合數恒等式

例8 求證：[（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2=（2n ） ！n ！n ！].

證明 設[f（x）=（1+x）2n]，則[（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n].

左邊含[xn]項的系數為[Cn2n=（2n）！n ！n ！]，

右邊=[（C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn）（C0n+C1nx+C2nx2+][…+Cnnxn），]展開式中含[xn]的項系數為：

[C0nCnn+C1nCn-1n+C2nCn-2n+…+CnnC0n]

[=（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2].

∴[（C0n）2+（C1n）2+（C2n）2+…+（Cnn）2=（2n） ！n ！n ！].

例9 求證：[C0n-][C2n]+[C4n-][C6n]+…=[2ncosnπ4]；[C1n-][C3n]+[C5n-][C7n]+…=[2n]sin[nπ4].

證明 在二項式定理[（a+b）n=][C0nan+][C1nan-1b+…+] [Crnan-rbr]+…+[Cnnbn]中，令[a=1，b=i，]則有[（1+i）n=][（C0n-C2n+C4n-C6n+…）+i（C1n-C3n+C5n-C7n+…）]①.

另外，把[1+i]化為三角式，應用棣莫弗定理有，[（1+i）n=[2（cosπ4+isinπ4）]n=2n（cosnπ4+isinnπ4）]②.

由①②得，根據復數相等的定義可得，[C0n-][C2n]+[C4n-][C6n]+…=[2ncosnπ4；][C1n-][C3n]+[C5n-][C7n]+…=[2n]sin[nπ4.]

點撥 組合數恒等式這類命題，都與二項式展開式有關. 因此二項式定理是證明組合數恒等式的重要方法.

證明不等式

例10 設[a，b]是兩個不相等的正數，[m]是大于1的自然數，求證：[am+bm2>（a+b2）m].

證明 設[a+b=2S，a-b=2d，]

則[a=S+d，b=S-d.]

故[am=（S+d）m=Sm+][C1mSm-1d+C2mSm-2d2+…+Cmmdm，]

[bm=（S-d）m=Sm-C1mSm-1d+C2mSm-2d2+…+（-1）mCmmdm.]

故[am+bm=2（Sm+C2mSm-2d2+C4mdm-4d4+…）>2Sm，]

即[am+bm2>（a+b2）m].

點撥 證明不等式的方法是多種多樣的，靈活地運用二項式定理，使得不等式的證明既簡捷又快速，不失為一種證明不等式的好方法.