有限差分法在波場模擬中的分析研究

許歡

摘 要：有限差分法是地球物理波長正演中常用的一種方法，該方法以差分方程的形式來代替微分方程，從而使整個計算過程變成差分方程的代數方程組的計算，以此實現微分積分方程的數值求解。區域離散化，近似替代，逼近求解是有限差分的主要方法，通過該方法能求得波場正演的數值解。

關鍵詞：有限差分；離散；近似；波場

一、引言

地震波是指從震源產生向四外輻射的彈性波。地震發生時，震源區的介質發生急速的破裂和運動，這種擾動構成一個波源。由于地球介質的連續性，這種波動就向地球內部及表層各處傳播開去，形成了連續介質中的彈性波。波場、地震波場，指有地震波傳播的空間。在這個空間的每一點上，一定時刻都有一定的波前通過，波的能量也按—定的規律傳播。當我們按照順時間軸方向研究波場的狀態問題的時候，如果研究的就是波場的正演問題，進行的計算機數值模擬，就是正演模擬。地震波正演模擬，實際上，是在給出地球模型，包括整個地球或者地球局部地質結構。在假定地球為復雜彈性介質的前提下，用相應的地球物理學的某種場方程，去求解地表或地下相應的某種場的響應函數，就地震波場而言，就是震源。

二、有限差分法

地球物理學科中的地震勘探，運用計算機數值模擬波動方程的正反演情況，就是把復雜地質結構中的彈性地震波，用數學物理方程的雙曲方程的波動方程表達出來，之后采用數學方法進行處理。地震波波長數值模擬的研究，可以直接應用在地震資料的采集、處理和解釋工作中。其研究的方向主要是波動方程的數學表達式、數值求解方法和計算機算法設計。為了得到更優化的數值求解方法，該學科還會研究網格剖分的離散化方法和傅立葉有限差分等轉化方法。雙曲型偏微分方程（Hyperbolic partial differential equations）：是描述振動或波動現象的偏微分方程。它的一個典型例子，是波動方程和n=1時的波動方程。可用來描述弦的微小橫振動，稱為弦振動方程。這是最早得到系統研究的一個偏微分方程。聲波方程是波動方程，波動方程是雙曲型偏微分方程。

有限差分法的第一步是對求解域進行網格剖分。網格剖分的方式，會直接影響到差分格式的形式，和計算的精確度。是有限差分法的最重要步驟之一。根據不同的網格剖分方法，還可以得到不同的有限差分方法，因為它們本身要求的網格剖分方式、差分格式等，都不同。現在主流的網格剖分方法主要是正交網格法和交錯網格法。交錯網格是相對于正交網格而言的，主要目的是通過尋找一種新的網格剖分方法提高計算的精確度。一般有限差分教材上使用的都是正交網格的剖分方式。所謂交錯網格就是將u、v及壓力p（以及其他標量和物性參數）分別存儲于三套不同網格，此時相鄰兩節點的壓力構成了動量方程中的壓力梯度，這就很好地解決了采用非交錯網格時遇到的問題，因而，在二維直角坐標系下交錯網格布局得到廣泛的應用。

三、有限差分原理

有限差分法的基本思想，是把連續的微分方程定值解的求解區域，用有限個節點來離散的表示。每個節點的參數，都是原方程的參數或者相關參數。其求解過程，就是在整個求解區域上，進行網格剖分后的遞推求解。把連續的求解區域用網格剖分成有限個節點之后，原來的連續函數再由泰勒展式展開，就可以得到原微分方程的差分方程。把求解區域離散化，得到原微分方程的近似解，再用插值等方法近似的得到原連續方程的解。這是一種近似化的求解方法。在采用數值計算方法求解偏微分方程時，若將每一處導數由有限差分近似公式替代，從而把求解偏微分方程的問題轉換成求解代數方程的問題，即所謂的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：

（1）區域離散化，即把所給偏微分方程的求解區域細分成由有限個格點組成的網格；

（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一個格點的導數；

（3）逼近求解。換而言之，這一過程可以看作是用一個插值多項式及其微分來代替偏微分方程的解的過程。

當得到差分方程的解之后，這個解就是我們所求的原微分方程的數值解。這個數值解，是原微分方程的連續解的逼近。我們可以通過插值等擬合方法，去得到原微分方程的更逼近的解。

網格剖分的方法，有：均勻剖分和不均勻剖分。均勻網格剖分容易編程，但是不均勻網格剖分易于表達不均勻介質。有限差分法還有幾個重要概念，是相容性、收斂性和穩定性。相容性，是指差分方程與原方程接近的性質。可以數學證明，當網格剖分至無窮小時，差分方程與原微分方程的接近程度滿足給定誤差。只有相容的差分方程才有意義，否則與原方程不具有等價性，無法使用。收斂性，是指當空間步長x和時間步長t趨近于0時，有限差分方程的解也無線逼近于原方程的連續解的性質。收斂性是對一個差分方程能否用來表達一個微分方程離散形式的指標。不收斂的差分方程不能用來表達給定的微分方程，因為它無法得到該微分方程的真解。收斂性和相容性有區別而且缺一不可。相容的差分方程如果不收斂于給定的微分方程，則不能用于作為其離散形式。穩定性，是指差分方程在數值求解的過程中，對誤差傳遞的控制能力。穩定性有嚴格的數學證明。其原理，是微分方程有限差分法數值解，是按照時間步長和空間步長逐層遞進的，穩定性原理就是從這個過程的角度來設計算法，達到對誤差的控制的。不穩定的差分方程，不具有可用性。

四、結論

有限差分數值法作為地震波長正演的一種重要方法正在被廣泛使用。微分方程有限差分數值求解法，就是把原微分方程在求解區域上通過網格剖分的離散化方式，通過對時間間隔和空間間隔的逐層遞推計算，得到原微分方程的連續解的近似解，這種解就是數值解，其中，在離散網格節點上得到差分格式的數學方法是用泰勒展開式求得該節點處的差分格式。差分方程有其必須滿足的性態，包括：網格剖分方法、相容性、穩定性和收斂性等。

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（作者單位：成都理工大學地球物理學院）