說說相交與平行

田載今

直線與直線之間都有哪些位置關系？如何探究直線與直線之間的位置關系？我們還是請?zhí)锢蠋焷碇v一講吧，

幾何學是數(shù)學的一個分支，它研究的是圖形的形狀、大小和位置.在幾何學中，直線是一種最基本的圖形，它沒有確切的定義，只有描述性解釋.一根拉得很緊的細線是產(chǎn)生直線概念的一個現(xiàn)實原型，但是幾何學中所說的直線不計粗細，可以向兩個方向無限延伸，顯然它是在現(xiàn)實原型基礎上經(jīng)過提煉、加工、抽象而得到的產(chǎn)物，以直線為基礎，可以定義射線、線段、角和多邊形等.

1.兩條直線的位置關系，

兩條直線的位置關系，在研究直線時至關重要.

從直觀到抽象是幾何學發(fā)展的軌跡，也是我們認識圖形的規(guī)律.我們先觀察圖1中的長方體，它有12條棱，可以想象，如果把每條棱都向兩端無限延伸，就產(chǎn)生了空間中的12條直線，在這些直線中任選兩條，它們或者有一個公共點（例如直線AB、AD有公共點A，直線AE、EF有公共點E），或者沒有公共點（例如直線AB、CD，直線AB、HD）.

兩條不重合的直線可能有不止一個公共點嗎？不可能.“過兩個點有且只有一條直線”是從實踐中總結(jié)出來的公認的基本事實，兩條不重合的直線最多有一個公共點，如果兩條直線有一個公共點，那么它們的位置關系是相交.

沒有公共點的兩條直線，有兩種位置關系：

（1）兩條直線在同一平面內(nèi)（例如我們在圖1中想象出的直線AB、CD同在平面ABCD內(nèi)），我們稱這兩條直線平行.

（2）兩條直線不在同一平面內(nèi)（例如我們在圖1中想象出的直線AB、HD），我們稱這兩條直線異面.

由此可知，兩條直線的位置關系有i種：相交、平行和異面.同一平面內(nèi)的兩條直線，只有兩種位置關系：相交和平行.

2.兩條相交直線所成的角，

如下頁圖2，直線AB、CD相交于點O，形成∠AOC、∠AOD、∠BOC和∠BOD這四個以點O為頂點并且都小于180°的角，其中，相鄰（有一條公共邊）的兩個角互為鄰補角，不相鄰（無公共邊）的兩個角互為對頂角.鄰補角之和為180°，對頂角相等.在這四個角中，不超過900的角叫作兩條直線的夾角.夾角的大小可以反映兩條相交直線的相對位置.

如下頁圖3，同一平面內(nèi)的兩條直線AB、CD被第三條直線EF所截，在兩個交點處形成八個角，我們稱這個圖形為“三線八角”.這些角按位置關系分有同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等，例如下頁圖3中，∠1與∠5是同位角，∠2與∠6是同位角（同位角分別位于兩條被截線的同一方，且都在截線的同側(cè)）；∠1與∠7是內(nèi)錯角，∠4與∠6是內(nèi)錯角（內(nèi)錯角都位于兩條被截線之間，且分別在截線的兩側(cè)）；∠1與∠6是同旁內(nèi)角，∠4與∠7是同旁內(nèi)角（同旁內(nèi)角都位于兩條被截線之間，且都在截線的同側(cè)）.

3.平行線的判定.

如圖4，在一張紙上，已畫出一條直線a，請你再畫出一條直線b，使直線b經(jīng)過直線。外的一個定點P，且a∥b.

首先，我們要考慮這個畫圖要求能否實現(xiàn)，

人們通過長期的觀察和畫圖實踐，總結(jié)出一個基本事實（平行公理）：經(jīng)過已知直線外一點，有且僅有一條直線與已知直線平行.由此可知，上述畫圖問題中的直線b存在，并且是唯一的，

其次，我們要考慮怎樣畫出直線b.

直線無限長，而我們在紙上只能畫出直線有限長的一部分，只憑兩條直線畫出的部分不相交，就能確定它們延伸后也不相交嗎？顯然，我們不能僅考慮這兩條直線，而要借助與這兩條直線都相交的第三條直線，通過它們形成的角解決問題.

一種具體畫法：如圖5，把一塊三角板T的一條直角邊放在直線a上，用一把直尺c緊貼三角板T的斜邊，固定直尺c的位置，沿直尺c移動三角板T，使三角板T先前在直線a上的直角邊經(jīng)過點尸，沿這條直角邊畫出直線b.

上述畫法的依據(jù)：由平行公理可以推出“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”，這就是判定直線平行的方法1：同位角相等，兩直線平行.

利用這一方法，再結(jié)合對頂角、鄰補角的性質(zhì)，就可以推出另外兩種判定直線平行的方法.

方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

上述三種方法都從角的方面給出了判定直線平行的條件，我們可以根據(jù)具體問題選擇其中最便于使用的方法.由此可以看出討論“三線八角”的必要性.

4.平行線的性質(zhì)，

由同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補可以判定兩條直線平行，這是平行線的判定，反過來，如果已知兩條直線平行，那么除了知道它們不相交，又能得到關于角的什么結(jié)論呢？也就是說，平行線有哪些性質(zhì)呢？

平行線的幾個主要性質(zhì)：

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等.

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

我們對性質(zhì)l進行證明.

如圖6，已知a∥b，求證∠1=∠2.

證明：假設∠1≠∠2，則過∠1的頂點p可作直線d，使直線c、d之間形成與∠2相等的同位角.由“同位角相等，兩直線平行”，可知d∥b.于是過點P有兩條直線a、d都與直線b平行，這顯然不符合平行公理.因此.前面的假設“，∠1≠∠2”不成立，即一定有∠1=∠2.

對比平行線的判定和性質(zhì)，可以看出：“判定”是根據(jù)角相等或互補推出直線平行，“性質(zhì)”是根據(jù)直線平行推出角相等或互補，“判定”與“性質(zhì)”是互逆的，它們的條件和結(jié)論恰好互換.實際上，在“同位角相等”“內(nèi)錯角相等”“同旁內(nèi)角互補”和“兩直線平行”中，只要有一條成立，其余三條一定成立.反之，只要有一條不成立，其余三條也不會成立，也就是說，它們是等價的.