整體思考巧解題

劉惜

對于某些幾何題，若我們按常規方法去分析，往往會陷入迷途，如果能打破常規，整體思考，通常能柳暗花明、化難為易。 【例1】如圖1， 四分之一圓中挖去了一個正方形BCDF。請計算圖中陰影部分的周長和。（單位：厘米）

【思路點撥】觀察圖1可知，陰影部分的周長是由正方形的兩條邊BF和FD，以及圓弧AE和線段AB、DE共同圍成的。但是，我們既不知道BF和FD的長，也不知道AB、DE的長，只知道圓弧AE是整個圓周長的，即3.14？？？=6.28（厘米）。

進一步觀察，我們不難發現：AB+FD=DE+BF=4（厘米）。所以，我們可以直接求出AB、FD、DE、BF這四條線段的總長度，即4？=8（厘米）。由此可計算出陰影部分的周長是6.28+8=14.28（厘米）。

【例2】如圖2，陰影部分面積為10平方厘米，求環形面積。

【思路點撥】一般而言，計算環形面積的方法是用外圓面積減去內圓面積，但由于此題沒有告訴我們大、小兩圓各自的半徑，所以無法求出大、小兩圓各自的面積。此時，我們退一步從條件和問題同時入手，另辟蹊徑。

仔細觀察圖2，不難看出，陰影部分其實就是大、小三角形的面積之差。故不妨設大三角形的直角邊，也即大圓的半徑長為R；設小三角形的直角邊，也即小圓的半徑為r。依題意可列式R2？-r2？=10，則R2-r2=20。又由于環形面積等于大圓面積減去小圓面積，即%iR2-%ir2 =%i（R2-r2），結合上面推出的結果R2-r2=20，所以，環形面積為3.14？0=62.8（平方厘米）。