如何培養(yǎng)高中生的解題能力

耿忠娟

摘 要：在數(shù)學的學習中，解題是必不可少的活動，且需要師生共同參與。因為學生學習了某些數(shù)學知識未必能夠駕馭這些知識。可見，解答數(shù)學題需要的是數(shù)學思維能力，同時也能發(fā)展學生的數(shù)學思維能力，本文從四個方面闡述了如何培養(yǎng)高中生的數(shù)學解題能力。

關(guān)鍵詞：解題能力；數(shù)學思維； 解題方法

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）32-0065-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.32.041

近幾年來，高考數(shù)學突出考查學生在理解、掌握知識的基礎(chǔ)上嚴謹?shù)耐评砟芰Γ瑫r注重考查學生的運算求解能力、空間想象能力、邏輯思維能力、創(chuàng)新應(yīng)用能力，進而體現(xiàn)數(shù)學學科的工具性和應(yīng)用性。因此，培養(yǎng)學生的解題能力是高中數(shù)學教學的重中之重。我在本文中就如何培養(yǎng)學生的解題能力，談幾點具體的看法。

一、讓學生養(yǎng)成認真審題的好習慣，提高審題能力

數(shù)學問題包括已知條件和需要解決的問題兩部分，審題就是要求學生對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關(guān)的知識點進行分析。有的學生的讀題習慣是快速讀題，然后找尋思路，找不到思路后，再次讀題，這樣反而浪費時間；有的學生是僅僅讀題目的文字，沒有分析題目多給的已知條件和需要解決的問題。因此我個人認為，審題時要慢并將題目中的關(guān)鍵詞關(guān)鍵量做出標記，同時審題時要注意題目中的隱含條件。另外，還要邊審題邊分析題，讀到題目的已知條件要想和該條件相關(guān)的基礎(chǔ)知識點，以便找到解決問題的思路。有些問題從已知條件中不能很快找尋到思路時，就要看題目中的問題，由問題想解決該問題需要知道哪些條件，進而尋找解決問題的突破口。

例1.在 中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，

已知

（1）求的值。

（2）若，求邊c的值。

[審題分析]（1）先化單角為半角再求單角三角函數(shù)值。

（2）a2+b2=4（a+b）-8中隱藏特殊平方關(guān)系可求a，b，用余弦定理求c。

[解]（1）由已知得，

即

由，得

即

兩邊平方得

（2）由>0，

得即，

則由，得.

由a2+b2=4（a+b）-8，得（a-2）2+（b-2）2=0，則a=2，b=2。

由余弦定理得，

所以.

在本題的審題中，要注意三角形中及三角函數(shù)式所隱含的角的限制。挖掘出的隱含條件和特殊特征有可能是撬動問題解決和發(fā)現(xiàn)簡捷解法的關(guān)鍵，這項工作有時不難，有時有一定困難，但只要有意識地注意它，有意識地訓練，并掌握基礎(chǔ)知識和解題規(guī)律，是不難做到的。

二、引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，尋求解題途徑

數(shù)學問題由兩部分組成：已知條件和需要解決的問題，這兩者之間有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系和必然的因果關(guān)系。解數(shù)學題的過程，就是靈活運用所學知識，去尋求這種聯(lián)系和關(guān)系的過程，尋求到了這種邏輯聯(lián)系也就找到了由條件到結(jié)果的途徑。尋找解題途徑的方法主要有綜合法和分析法，常用的有等價轉(zhuǎn)化、特殊化、一般化、歸納、類比等方法。解題時運用這些特有方法尋找解題途徑是否奏效，關(guān)鍵在于是否能靈活地運用和大膽試探。

例2.設(shè)等差數(shù)列的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m>n），求它的前m+n項的和Sm+n.

[審題分析]

（1）這樣只要求出即可.

（2）由可以構(gòu)造出，并求出。

[解]設(shè)的公差為d，則由Sn=m， Sm=n（m>n）得

兩式相減得

本題的解法突出了整體思想，要求學生要掌握公式，善于觀察結(jié)構(gòu)特征。通過問題的結(jié)構(gòu)特征采用適合的方法。發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律是提高解題能力的重要過程，對于所考察的知識點或者根據(jù)題型進行規(guī)律的總結(jié)，并將這些規(guī)律應(yīng)用于新的問題，如解決三角函數(shù)的問題要先觀察角，解決數(shù)列問題要先觀察項數(shù)等。

三、指導(dǎo)學生運用數(shù)學思想 尋找解題思路

數(shù)學是一門思維學科，靈活運用數(shù)學思想方法來尋求解題思路，往往會事半功倍。函數(shù)與方程思想能夠解決函數(shù)、不等式和方程等知識的綜合問題；數(shù)形結(jié)合思想能夠使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)；分類討論思想是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略；轉(zhuǎn)化與化歸思想能夠?qū)?fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已知解決的問題。

學生的解題活動最能影響他們的思維發(fā)展，要使數(shù)學解題活動在發(fā)展學生思維方面取得最佳效果，還必須合理地控制學生的解題活動，即在教師的指導(dǎo)下，由學生獨立地探索解題。

四、培養(yǎng)學生在解題后進行反思的習慣

待解決問題之后，再對自己的解題活動加以回顧與探討、分析與研究，是非常必要的一個環(huán)節(jié)，這是數(shù)學解題過程的最后階段，也是提高學生解題能力最有意義的階段。解題過程反思包括：反思問題中的隱含條件和結(jié)構(gòu)特征是否被挖掘，反思解題過程的分析與推理是否合理，反思解答過程是否完備，反思解題思路是否最簡。學生通過對解題的結(jié)果和解題思路進行細致分析，對解題的主要思想、關(guān)鍵因素和同一類型問題的解法進行概括，從解題中總結(jié)歸納出數(shù)學的基本思想和基本方法，并將它們運用到新的問題中去。

例3.過點P（1，-2）引圓x2+y2=1的切線，求切線方程。

[錯解]設(shè)過點P（1，-2）的圓的切線方程為y+2=k（x-1），則圓心O（0，0）到切線的距離等于圓的半徑. 即，解得。

切線方程為3x+4y+5=0。

[答案]x=1和3x+4y+5=0

[反思]（1）如何通過檢驗發(fā)現(xiàn)題有錯？此題可以用幾何作圖進行驗證，點在圓外，切線有兩條，上述解法丟解了。

（2）丟解說明推理不合理，解答不完備，解題不合理的原因是什么？此題設(shè)直線方程時就埋下可能丟解的隱患，根本原因在于直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式等四種形式都不能夠表示平面內(nèi)所有直線，所以使用某種形式的方程時，該方程不能表示的直線情形必須另外討論。

反思能溝通知識間的聯(lián)系，促進知識的同化和遷移，深化對知識的理解，有利于在原有的基礎(chǔ)上建立更高層次的認知結(jié)構(gòu)，進而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，反思能使我們的解題水平和思維水平不斷上升，并形成良好的思維品質(zhì)和科學的思維模式。

總之，解題并不僅是為了求得問題的結(jié)果，真正的目的是提高學生綜合運用數(shù)學知識、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神，提升他們的數(shù)學素養(yǎng)，而這種數(shù)學素養(yǎng)在學生獨自完成作業(yè)中能夠得到提高，所以，我們有必要處理好知識教學與解題教學的關(guān)系，在平時教學中，注重培養(yǎng)學生的解題能力，發(fā)展他們的數(shù)學思維，使數(shù)學教學效果得到明顯改善。

參考文獻：

[1] 曹一鳴，張生春.數(shù)學教學論.北京師范大學出版社，2008.

[2] 新課標高考2015高考總復(fù)習一輪用書.首都師范大學出版社，2015.

[責任編輯 趙景霞]