對電池老化時歐姆表測量誤差的計算和分析

潘積亭

（杭州第十四中學 浙江 杭州 310006）

而電池老化時d E負，d r正，故d RS恒正，即RS遞增．再由（12）、（13）和（15）式得

由式（22）可得

RS＝

關于電池老化對歐姆表測量的影響，刊文多指串聯調零簡單表（如2009年高考天津卷試題），其結論是在電池用舊時電阻測值顯著偏大（與電池內阻無關）．而實際表并非如此簡單，本文將作具體分析．

1 歐姆表電阻測量原理及誤差產生機理

如圖1，設電池電動勢和表內總阻處于標稱值E0和RM0，Im0和Igm分別為調零時電路總電流和表頭電流．令電路中電流變換系數為，則有

圖1 歐姆表標稱態調零

串入電阻Rx0時表頭電流

由（1）、（2）式得

電池老化并經調零后，E0，K0和RM0分別變為E，K和RM（圖2）．串入同一電阻Rx0時表頭電流變為Ig，仿（3）式推導得

若這時另以（4）式為依據，畫制以中刻度R中（＝RM）的歐姆表尺．則Ig在新歐姆表尺上所示的測量值［（4）式左邊的量］還是Rx0．而實際是仍在原歐姆表尺（R中＝RM0）上按（3）式（以Ig代Ig0）示值，則測量值變為新值Rx

圖2 歐姆表常態時調零

由（5）、（4）兩式比，即得在電池老化的歐姆表上測電阻Rx0時的測量值為

測量的絕對誤差

相對誤差為

式（8）中ΔRM＝RM－RM0是指當時歐姆表總阻RM對標稱總阻RM0的變化量．

2 表內總阻R M的計算式

如圖2，RS為調零電路總分流電阻，調零回路內電阻之和R回＝Rg0＋RS0＋RP，RT為配擋分流電阻，RgSf為調零電路與Rf串聯總阻，r為電池內阻，則而（見附錄）

3 求電池老化引發表總阻的變化量ΔR M

對（11）和（9）式兩邊微分，得

在（10）式中，令b＝4R回Rf，以E和r為變量，對該式兩邊微分，得

一般歐姆表共用一個1．5 V電池供電的有四擋（圖1，圖2）．現粗算R×1k和R×1兩邊端擋中的ΔRM．

［×1k擋］，因調零電路電阻R（k）調（≥104Ω）遠大于r，使（11）式中r可略計，整式可簡寫為

微分之有

又其分流電阻R（k）T（≥104Ω）r，使 （10）式中C≈1，由（9）～ （11）式知R（k）調也與r無關，僅隨E而變．

［×1擋］，因R（1）T使（11）

微分之有

4 電阻測量誤差的計算和分析

4． 1 ［R×1k擋］

先從（14）式知負決定于上式（調零電路）中（R回－2RS）的正負．下面分兩類：

而電池老化時d E負，d r正，故d RS恒正，即RS遞增．再由（12）、（13）和（15）式得

以 MF－30B表［1］為例，Rg0＝2 kΩ，RT＝1．7 kΩ，RS0＝4．3 kΩ（故R回＝8 kΩ，RS0﹥），Rf＝23．2 kΩ，R（k）T（無）＝ ∞，Im＝3．75×10－5A，

gR（k）M0＝25 kΩ，由（10）、（9）、（11）、（17）和（8）式算得 與E對 應 的RS，R（k）調，R（k）M和值，畫出R（k）M－E 和圖像（圖3）．

圖3 MF－30B表R×1k擋R（）－E 和－E 圖像k M

圖3 顯示R（k）M隨E（減小）單調減小，ΔRM（＝RM－RM0）先正后負．測值Rx先偏小后偏大，最大誤差1．2%．

當E ＞1．58 V（R（k）M＜R（k）M0）時，測值Rx偏大；在1．58＞E＞1．31 V（R（k）M＞R（k）M0）間，Rx偏小；E＜1．31 V時，Rx又偏大．最大誤差0．46% ．

圖4 108－T－1表R×1k擋R（）－E 和圖像k M

另有如500－F表［1］，雖調零電路和R（k）M－E 圖像也有上表特點，但因R（k）T較小，使R（k）M峰值近小于該表標稱總阻R（k）M0，故電阻測值Rx始終偏大．

再有如 MF50－1表［1］，雖R（k）M峰值大于R（k）M0，但因R較近于，峰值偏近高E端（相當于圖4中S0圖像右移），在新換電池時R（k）M＞R（k）M0，隨著電池用時長呈現R（k）M＜R（k）M0，電阻測值會先偏小后偏大．

4． 2 ［R×1擋］

圖5 實測兩類5號干電池的r－E圖和MF－30表R×1擋－E圖像

通常設計時，定r0為0．6Ω（有熔絲時另加）．而r與電池結構型號有關．如圖5用5號普通電池，從新置 （E＞1．5 V）經標稱值（1．5 V）到用舊不能調零，r從r ＜r0增到r＞r0，ΔR（1）M≈Δr＝r－r0從負變到正，測值Rx先偏大，后偏小．若用優質堿性電池，r較小，在該擋調零域內，r恒小于r0，始終有RM＜RM0，使Rx一直偏大．以 MF－30B表為例，R（1）M0＝25Ω，用普通電池時，最大誤差發生在最低極限調零電動勢E低＝1．36 V時，在圖5中對應r＝1．1Ω，Δr＝0．5Ω，由（15（1））和（8）式得2%（偏小）．而用優質電池時，E低＝1．30 V，由圖5知r＝0．5Ω，Δr＝－0．1（偏大）．倒是用新電池時

1．6%（也偏大）最大．

4． 3 ［R×100擋］和［R×10擋］

雖在該兩擋算誤差時都需計及ΔR調與Δr，但測值偏向特點分別近于R×1k擋和R×1擋，且誤差值均較小；最大誤差分別小于0．5%和1%．

綜上知，實際歐姆表在電池老化過程中電阻測值的偏向與電表調零電路參數和電池質量等因素有關，使各表各擋測量值偏向和誤差值也會有別，但其誤差值都不大．所有這些與簡單歐姆表均有較大差異．

附錄：調零電路總分流電阻RS算式［即文稿中（10式）］的推證

如圖2所示，由歐姆定律得

電路總電流為

通過Rf電流為

由（11）式得

由式（22）可得

RS＝

1 李東煒，等．萬用表使用維修手冊．北京：中國計量出版社，1995．183，303，328，201