淺談MATLAB在常微分方程課堂教中的應用

崔仁浩　王金鳳

常微分方程是數學與應用數學專業中的一門重要的核心基礎課程，是數學專業學生在大學一年級完成最基礎的三門專業課（數學分析、高等代數、解析幾何）后開始學習的課程。在大學本科數學基礎課程中， 常微分方程是少數幾個可以充分展示數學研究本質的課程之一，在課堂教學中我們所采用的是王玉文教授主編的教材《常微分方程簡明教程》，本書已于2010年在國家級出版社“科學出版社”出版，并由于其數學研究方法的較強滲透性而入選了“大學數學科學叢書”。在傳統的常微分方程課程中， 主要尋找一些特殊的技巧和方法，去發現這些方程的通解或初值問題的特解， 然而可以找到解析方法進行求解的微分方程是很少的， 因此在現代微分方程研究及應用中， 尋求具體微分方程的解析解的特殊技巧已經不再是主流課題， 而應用中提出的各種具有實際背景模型的微分方程又往往是非線性方程， 尋找這些方程的解析解， 絕大部分是不可能的，其有效的方法是利用定性分析方法與數值方法來考慮這些非線性方程的解的問題。國際著名數學家、Wolf數學獎獲得者V.I. Arnold在其編著的經典教材《常微分方程》中尤其注重體現關于常微分方程幾何理論的深刻思想，從穩定性這一動力系統理論所要研究的核心問題出發，通過具體的例子引入穩定性、周期性等基本概念，對于平面動力系統做了詳細的探討。在我們的課程教學過程中也力爭為學生展示數學直覺與數學研究的本質余常微分方程幾何理論的思想，由于幾何理論這一思想方法具有高度的抽象性和概括性， 尤其是介紹利用定性分析方法考慮微分方程時，抽象的概念和定理使得初學者難以直觀地理解定性分析方法的實質，這時如果用MATLAB軟件繪制出幾何圖形就能將抽象的概念與結論直觀形象地體現出來， 這毫無疑問將非常有助于學生對幾何理論思想方法的理解， 同時將極大地提高學生的學習效率與興趣。

MATLAB是由美國Mathworks公司在上個世紀八十年代推出的數學軟件，它將矩陣分析、數值計算、數據可視化以及程序設計等諸多強大功能集成在一個簡單易用的交互式工作環境中，從而可實現數據的分析與計算、算法研究、模擬繪圖、應用程序設計以及非線性動態系統的建模和仿真等功能，MATLAB在當今各個科學領域有著廣泛的應用。在數學專業課程教學過程中，MATLAB也成為數學分析、線性代數、微分方程、概率統計、數值分析、優化控制等課程的基本教學工具，有著廣泛的應用前景。常微分方程這門課具有高度的抽象性和概括性， 利用MATLAB輔助教學能將課程中一些抽象的概念和定理通過圖表、圖象、甚至結合動畫轉化成直觀、具體的表現形式。MATLAB中包括大量的繪圖程序， 直接調用這些程序可以方便地實現非線性常微分方程的解在相平面上定性分析圖形的繪制，形象生動地展示方程解的各種動力學行為。應用MATLAB進行常微分方程的計算機輔助教學，有利于學生對斜率場、解的圖像、相空間、向量場及軌線等重要概念的理解，能夠使學生對微分方程的幾何理論有更直觀深刻的認識。更加方便的是，盡管MATLAB具有強大的圖形輸出功能，但是該軟件的操作極為簡潔方便，使用者可以在不熟悉MATLAB其它功能的情況下， 通過幾條簡單的命令就可以利用MATLAB中的Dfield程序和PPlane程序繪制出非線性方程（組）在相空間中解的幾何圖形。本文通過在課堂教學過程中使用MATLAB 輔助教學的兩個典型案例來加以說明。

并且從求出的解析解可以看出：除常數平衡解x（t）=N以外的任意解，不管初值如何選取，當t→∞時，x（t） →N。下面考慮不求出方程的解析解，使用定性分析的方法來判斷解的漸進性質，在這里為了方便學生的理解，我們可以通過使用MATLAB中的Dfield程序描繪一下解的長時間行為。下面我們進行以下的操作：在Dfield程序中選取k=2，N=3，程序作出圖1，從圖1中可以看出，在第一象限內，當初始值是在x=3上方時，隨著時間的增長曲線最終都趨向于直線x=3；當初始值是在x=3之下時，曲線最終也都趨向于直線x=3。這個模型在實際意義上的表示的是：不管人口的最開始的數量是多少，最終人口的數量一定會趨于最大承載量N。

的平衡解，平衡解的穩定性以及解的漸進行為。其中x（t）表示物種數量的密度函數（依賴自變量時間t），k>0表示物種增長率與物種總數之間的比例常數，N>0表示資源與環境的最大承載量，0同樣的，對于這個問題我們可以借助于使用MATLAB中的Dfield程序描繪一下解的長時間漸進行為。下面我們進行以下的操作：在Dfield程序中選取k=2，N=5，M=3，程序作出圖2，從圖2中可以看出，在第一象限內，當初始值是在x=3下方時，隨著時間的增長曲線最終都趨向于直線x=0；當初始值是在x=3和之間時，曲線最終都趨向于直線x=5；當初始值是在x=5上方時，曲線最終也都趨向于直線x=5。這個模型在實際意義上的表示的是：如果物種最開始的數量是低于Allee效應的門檻值M時，最終物種的數量一定會趨于0，也即此時物種的初始數量太少使得物種的發展最終會滅絕；如果物種最開始的數量是高于Allee效應的門檻值M時（無論高于還是低于環境的最大承載量N，最終物種的數量一定會趨于最大承載量N。

通過以上實例分析以及結合我們近幾年的教學實踐， 我們深切地感受到：Matlab是一款功能強大的應用數學軟件，將Matlab軟件引入常微分方程課程的教學，可方便學生更深入地理解課程內容，激發學生的學習興趣，對培養學生的數學素質， 提高學生應用所學數學知識解決問題的能力，使常微分方程課程的教學出現了生動活潑的局面。

參考文獻

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