《二項式定理》教學設計與思考

劉丹丹

一、教學目標

1. 知識與技能

（1）能利用組合數的方法證明二項式定理;

（2）理解并掌握二項式定理，并能簡單應用.

2. 過程與方法

通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養學生觀察、分析、概括的能力以及化歸意識與知識遷移能力，體會從簡單到復雜的思維方式，并形成從特殊到一般的歸納.

3. 情感、態度與價值觀

培養學生的自主探究意識、合作精神，體驗二項式定理的發現和創造歷程，感受數學史.

二、教學重點、難點

重點：探究并歸納用組合數的方法得到展開式的形成過程，并由此得到二項式定理.

難點：1. 展開式中的項的特點;2. 展開式中各項系數的確定.

三、教學設想

為了突破難點、突出重點，我采用化歸的思想將二項式展開過程化歸到熟悉的（a+b）2，（a+b）3，設計展開（a+b）4，進而探究（a+b）10，引出課題，啟發引導學生采用分組合作探究的形式分析、解決問題.

四、教學過程設計

1. 數學史

屏幕展示科學家牛頓，陳述二項式定理是他在數學史上的第一個發現，引出課題.

2. 創設情境

設計問題串，創設情境，引出二項式定理的推導過程.

問題1：大家可能會問，二項式定理是用來研究什么的？

二項式定理就是用來研究（a+b）n（n∈N*）是如何展開的.

問題2：（a+b）2等于什么？

問題3：快速計算（a+b）3，并回答你是用什么方法得到的.

問題4：用同樣的方法可以快速展開（a+b）10嗎？

我們要展開（a+b）10就須要知道（a+b）9，要展開（a+b）9就須要知道（a+b）8 ……

這個過程是相當復雜的，那么我們就來研究怎樣能夠更快地展開（a+b）n.現在如果你是牛頓，你會怎么想（應該從這里面尋找一個規律）？

引出尋找一個新的方法，快速展開（a+b）n，保證后面能選取最便捷的方法，并且運用該方法準確、快速地得到答案.

3. 教授新課

尋找規律。請大家思考一下：第一，我們從什么地方開始尋找規律？第二，這個展開式雖然很復雜，但是只要我們能夠抓住幾個關鍵環節就可以把展開式輕松展開，那么，這幾個關鍵環節是什么？

我們要找一個規律，這個規律肯定是n∈N*，只要在這個范圍內什么樣的式子都成立.所以我們可以從簡單的式子入手，以此類推.第二，雖然展開的式子很復雜，但是只要我們抓住這幾條：（1）展開后有多少項;（2）各單項式的形式;（3）各單項式的系數.

這節課我們將從這三個方面來重點研究問題.首先，讓我們對（a+b）2的展開式的形成過程重新進行分析. 2ab這一項是ab與ba合并同類項之后形成的.接下來，用新的思想重新考慮系數2是怎樣形成的，引出應該從ab這一項是怎樣形成的去考慮.ab這一項的形成可以看做：從這兩個因式中選擇一個因式，讓其中一個出現a，另一個出現b. 對于一個因式來說，它里面要么出現a，要么出現b，且只能出現一個. 因此，出現a了就不能出現b;出現b了就不能出現a .事實上，以誰為研究對象都可以，在這里，我們不妨以b為研究對象，所以引出二項式定理從始至終以b作為研究對象.

接著分析ab這一項，ab可以看做是從兩個因式中選出一個因式出現b，有C21種可能性，剩下的因式自然就出現a，則只有一種可能，因此我們始終以b為研究對象，就得到了2ab.接下來用同樣的思想來探索a2，可以看做從兩個因式中選0個因式出現b。因此，對它來說應該是C20a2;最后一項，從兩個因式中選出2個，讓它們都出現b，就有了C22b2這一項.

如此，我們用組合數的方法重新定義了我們所認識的（a+b）2，那么接下來再用同樣的方法探索一下（a+b）3具體會出現哪些項（按b的升冪的順序寫出每一項），每一項的形成過程是什么（請學生回答）.強調在以b為研究對象的前提下，在每一項的形成過程中產生了相應項的系數，而系數是用組合數定義的，這是我們最關心的.根據剛才的規律，可以快速推出（a+b）4，利用組合數的思想寫出系數C40、C41、C42、C43、C44.

現在，以（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4作為最基本的研究對象，你能不能從中找到一些規律？還是從我們所說的三點總結，即項數、項數特點、項數系數的特點.學生討論，并將討論的結果與大家一起分享.

注意：在討論的過程中，從項數特點上滲透通項，從每一項的形成過程得到每一項的系數，而且按照b的升冪的順序列出每一項，既簡潔又可體現數學里的對稱美.

從三個方面來尋找規律，從簡單到復雜，用歸納推理的思想猜測出二項式定理，進而對其證明.

表明二項式定理的特點：

（1） Tk+1=Cnkan-kbk ?k=0，1，2…n.

（2）每個式子都有n次，a降冪，b升冪.

（3）共有n+1項.

（4）Cn0、Cn1…Cnk…Cnn叫做二項式系數.

（5）用加號連接.

4.課堂鞏固

例1：求（2-）6的展開式.

從本例總結出一個二項式展開式的某一項的二項式系數和系數是兩個不同的概念.

例2：（1）求（1+2x）7的展開式4項的系數.

（2）求（x+）9的展開式x3的系數.

本例題中體現了二項式展開式的通項的作用，強調重點內容：Tk+1=Cnkan-kbk ?k=0，1，2…n.

（1）為二項展開式中的第k+1項.

（2）利用通項可以求出二項展開式中某些特殊的項：如常數項，含x的n次冪的項，某項的系數等.

學習了公式，要學會正用、逆用，還要學會變形用.

例3：化簡（x-1）4+4（x-1）3+6（x-1）2+4（x-1）+1.

5.課堂小結

請大家思考：

（1）本節課新學習的基本知識點;

（2）本節課新知識點的得出用了什么思想方法？

讓學生回顧知識形成過程，梳理思路，自我歸納總結.

6.作業

（1）在二項式定理中，如果設a=1，b=x，則得到什么公式？

（2）試寫出（1+b）n的展開式.

五、設計思考

二項式定理是初中學過的多項式乘法的繼續，是組合知識的進一步運用，本節課的教學重、難點是“使學生掌握二項式定理的形成過程”，在教學中，采用“問題—探究”的教學模式，把整個課堂分為呈現問題、探索規律、總結規律、應用規律四個階段，讓學生體會研究問題的方式方法，培養學生觀察、分析、概括的能力，體會從特殊到一般的思維方式，讓學生體驗定理的發現和創造歷程.