關(guān)于求解費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的多種方法探究與綜述

李靜爽

摘要：本文主要針對(duì)經(jīng)典的三角形費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題及其加權(quán)推廣問(wèn)題，對(duì)幾種方法（兩種數(shù)學(xué)和兩種物理解法）進(jìn)行綜述和擴(kuò)展，展現(xiàn)不同解法的不同知識(shí)層次和邏輯思維方式，為不同的教育工作者都能提供一個(gè)較好的教學(xué)案例。

關(guān)鍵字：費(fèi)馬點(diǎn)；加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)；二元極值；最小勢(shì)能；光行最速

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）21-0231-03

費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的原型為生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常遇到的一類(lèi)問(wèn)題——選址問(wèn)題。例如在三個(gè)城市之間建造一個(gè)垃圾場(chǎng)，如何選擇垃圾場(chǎng)的位置，使其到三個(gè)城市的距離之和最小，這就是經(jīng)典的三角形費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題。進(jìn)一步地，若從三個(gè)城市向垃圾場(chǎng)運(yùn)送垃圾的代價(jià)不同，且與其距離成正比，如何選擇垃圾場(chǎng)的位置使其總代價(jià)最小，那么就變?yōu)橐粋€(gè)加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題。

費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題是17世紀(jì)時(shí)，由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在寫(xiě)給意大利數(shù)學(xué)家托里折利的一封信中最早提出，最早由托里拆利解決。因此該問(wèn)題后來(lái)被稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題。有關(guān)費(fèi)馬點(diǎn)的研究很多，推廣應(yīng)用也很多。主要是費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題具有多層次性，可以用初等數(shù)學(xué)知識(shí)求解，也可用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求解，還可與物理知識(shí)結(jié)合求解。題目可變換多種形式和深度，設(shè)計(jì)為中學(xué)題目，競(jìng)賽題目，可作為大學(xué)課堂例題，也可作為研究性課題，甚至是推廣到組合優(yōu)化中的斯坦納樹(shù)問(wèn)題。本文主要針對(duì)經(jīng)典的三角形費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題及其加權(quán)推廣問(wèn)題，對(duì)幾種方法進(jìn)行綜述和拓展，展現(xiàn)不同解法的不同知識(shí)層次和不同的邏輯思維方式，為不同的教育工作者均能提供一個(gè)較好的素材。

本文詳細(xì)闡述和推導(dǎo)了求解三角形費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的四種方法，并且每種方法均推廣到了求解加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的問(wèn)題。二元極值法需要利用高等數(shù)學(xué)中多元微分的知識(shí)，方法嚴(yán)謹(jǐn)，但不利于觀察其中的幾何特征；梯度法同樣需要高等數(shù)學(xué)知識(shí)，方法簡(jiǎn)潔，且與幾何特征相聯(lián)系，是學(xué)習(xí)梯度時(shí)較好的課堂案例；最小勢(shì)能解法和光行最速解法為物理解法，構(gòu)思巧妙，學(xué)科交叉，啟發(fā)思維，可以作為數(shù)學(xué)教學(xué)的案例，更可以作為物理應(yīng)用的教學(xué)案例，都有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭鏡明，韓云瑞，章棟恩，等.美國(guó)微積分教材精粹選編[M].高等教育出版社，2012.