巧用臨界位置的切線破解參數取值范圍

劉驍

摘 要：求參數的取值范圍是一類活躍在高考導數題中的熱點問題，也是難點問題，其求解策略主要有二種：①分類討論；②參變量分離。第一種方法思維量大，耗費的解題時間相對較長，還很易漏解和錯解。第二種方法將參數完全分離后，靈活度不高，如果遇上求導后極為復雜，或者要運用洛必達法則等超綱知識，學生則會進退兩難。那么如何破解呢？本文運用數形結合的思想和參變量的半分離的方法，例說巧用臨界位置的切線，破解一類參數取值范圍問題，并通過與分類討論等傳統方法的對比，來展示其優越性，以期找到固定化模板和套路。

關鍵詞：數形結合；臨界位置的切線；參數取值范圍；分類討論

求參數的取值范圍是一類高考導函數題中的熱點問題，其求解策略一般有二種：①分類討論；②參變量分法。

法①顯然思維量大，耗費的解題時間相對較長，還很易漏解和錯解。

對于法②，其在一些題上固然很有優勢，不過因其靈活度不高，將參數完全赤裸裸地分離后，如果遇上求導后極為復雜的函數問題，或者是要運用洛必達法則等超綱知識才能得出最值的問題，學生則會進退兩難。

本文提出參變量的半分離，將一些復雜的函數分為兩個簡單的函數，運用數形結合的思想，抓住臨界位置的切線，即可輕松得到答案。以下通過實例歸納出一些固定化的模版和套路。

由圖像易知：b的取值的集合為{1}。

小結：例1介紹的將原含參函數分解為一個簡單的指數函數和一個我們熟悉的一次函數（分解為兩個簡單函數），再通過一個方程組，即在切點處的函數值相同，切線斜率相同，得出相切即臨界位置的情況。此做法有兩個優點：一是計算量極小，二是說理時方便。

故本題正確答案為D。

小結：例2介紹的將原含參函數分解為一個簡單的對數函數和一個一次函數，將導函數拆解成兩函數后，我們可以過觀察兩函數的相對位置，看出導數的正負，也即原函數的增減性。和例1一樣通過一個方程組，即在切點處的函數值相同，切線斜率相同，得出相切即臨界位置的情況。

小結：例1和例2介紹的都是將原含參函數拆解為一直線和一曲線。更進一步地，例3介紹的是將原函數拆解為兩個曲線（前提是這兩個曲線是我們很容易了解的，不需要通過二次求導或一些極限思想來獲知函數的圖像），然后還是再由一個方程組，即在切點處的函數值相同，切線斜率相同，得出相切即臨界位置的情況。

以上幾題，通過與傳統的分類討論對比，充分展示巧用臨界位置切線法的優越性，筆者在此再做簡要歸納：將原復雜函數拆解為兩個函數，可以是兩個基本函數（我們熟知的一次函數，二次函數，對勾函數，對數函數，指數函數）或也可以拆解為一個稍微復雜些函數（需要通過簡單求導即可得到其單調性）和一次函數，然后我們可以使用數形結合，找到臨界位置的切線，最后，用前面多次提到的“一個方程組”（即在切點處兩函數值相同，兩函數導數值相同）來秒殺一類參數值取值范圍問題，化抽象為直觀，變繁瑣為簡潔，在高考導函數問題上起到四兩撥千斤的作用。

參考文獻：

[1] 蘭琦.高中數學進階教程.浙江大學出版社，2016.8.