應(yīng)用二重積分法計(jì)算邊緣密度函數(shù)

趙秀菊

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2016.24.145

摘 要：把直角坐標(biāo)系下二重積分化累次定積分的方法應(yīng)用于計(jì)算二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度，從熟悉到不熟悉，使學(xué)生更容易掌握。已知二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，求邊緣密度一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：概率密度 隨機(jī)變量 X-型區(qū)域 Y-型區(qū)域

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2016）08（c）-0145-02

在概率統(tǒng)計(jì)授課中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有兩方面的困難：一是不知道如何確定每個(gè)隨機(jī)變量的討論區(qū)間；二是不知道邊緣密度函數(shù)公式中定積分的上下限如何簡(jiǎn)單得到。該文將直角坐標(biāo)系下二重積分化為累次定積分的方法應(yīng)用于求連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣密度函數(shù)中，從而給出一種求邊緣密度函數(shù)的新方法。

1 二重積分化累次定積分的計(jì)算步驟

Step1：畫積分區(qū)域，確定積分區(qū)域的類型。

Step2：若是X-型，則將二重積分化為外層對(duì)x積分，內(nèi)層對(duì)y積分；然后確定x、y的上下限，積分區(qū)域內(nèi)x的最小值和最大值分別作為外層積分的上下限，內(nèi)層上下限的確定方法為：在積分區(qū)域內(nèi)畫垂直于x軸的直線，此直線進(jìn)去、出去時(shí)與積分區(qū)域的兩個(gè)交點(diǎn)的y的值分別作為外層的上下限。

若是Y-型，則將二重積分化為外層對(duì)y積分，內(nèi)層對(duì)x積分；然后確定x、y的上下限，積分區(qū)域內(nèi)y的最小值和最大值分別作為外層積分的上下限，內(nèi)層上下限的確定方法為：在積分區(qū)域內(nèi)畫垂直于y軸的直線，此直線進(jìn)去、出去時(shí)與積分區(qū)域的兩個(gè)交點(diǎn)的x的值分別作為外層的上下限。

Step3：先計(jì)算內(nèi)層定積分，然后將內(nèi)層的計(jì)算結(jié)果作為外層的被積函數(shù)對(duì)外層再進(jìn)行一次定積分。

2 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度的定義

設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，X為一個(gè)一維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度（即X的邊緣概率密度）為[1]：

Y為一個(gè)一維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度（即Y的邊緣概率密度）為：

3 利用二重積分化累次定積分的方法計(jì)算邊緣概率密度

該文只討論聯(lián)合密度函數(shù)為如下的類型：

（1）計(jì)算X的邊緣概率密度函數(shù)。

計(jì)算此問題就相當(dāng)于二重積分化累次定積分時(shí)X-型區(qū)域的Step2，把x的上下限的確定方法當(dāng)成此處x的密度函數(shù)不為零的區(qū)間的尋找方法；把內(nèi)層y的上下限的確定方法當(dāng)成尋找邊緣密度函數(shù)計(jì)算公式中定積分的上下限的確定方法。具體步驟如下。

Step1：畫出不為0的區(qū)域D，確定此區(qū)域x的最小值a和最大值b，得x的密度函數(shù)不為零的區(qū)間[a，b]，從而x的討論區(qū)間為[a，b]及其剩下部分所構(gòu)成的區(qū)間。

Step2：在區(qū)間[a，b]內(nèi)，畫垂直于x軸的直線，此直線進(jìn)去、出去時(shí)與區(qū)域D的兩個(gè)交點(diǎn)的y的值分別作為定積分的上下限。

Step3：x的其他區(qū)間內(nèi)由于聯(lián)合密度函數(shù)為0，故x的邊緣密度函數(shù)也為0。

（2）計(jì)算Y的邊緣概率密度。

計(jì)算此問題就相當(dāng)于二重積分化累次定積分時(shí)Y-型區(qū)域的Step2，把y的上下限的確定方法當(dāng)成此處y的密度函數(shù)不為零的區(qū)間的尋找方法；把內(nèi)層x的上下限的確定方法當(dāng)成尋找邊緣密度函數(shù)計(jì)算公式中定積分的上下限的確定方法。具體步驟如下。

Step1：畫出不為0的區(qū)域D，確定此區(qū)域y的最小值a和最大值b，得y的密度函數(shù)不為零的區(qū)間[a，b]，從而y的討論區(qū)間為[a，b]及其剩下部分所構(gòu)成的區(qū)間。

Step2：在區(qū)間[a，b]內(nèi)，畫垂直于y軸的直線，此直線進(jìn)去、出去時(shí)與區(qū)域D的兩個(gè)交點(diǎn)的x的值分別作為定積分的上下限。

Step3：y的其他區(qū)間內(nèi)由于聯(lián)合密度函數(shù)為0，故y的邊緣密度函數(shù)也為0。

例1：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：

求X、Y的邊緣概率密度函數(shù)。

解：不為0的區(qū)域D如圖1。

（1）X的邊緣概率密度函數(shù)的計(jì)算過程。

由圖1可得，區(qū)域D內(nèi)x的最小值0和最大值1，得x的密度函數(shù)不為零的區(qū)間[0，1]。從而x的討論區(qū)間為。

在區(qū)間[0，1]內(nèi)畫垂直于x軸的直線，此直線進(jìn)去、出去時(shí)與區(qū)域D的兩個(gè)交點(diǎn)的y的值分別為0和1，此即為定積分的上下限。

故X的邊緣概率密度函數(shù)為：

（2）Y的邊緣概率密度函數(shù)的計(jì)算過程。

由圖1可得，區(qū)域D內(nèi)y的最小值0和最大值1，得y的密度函數(shù)不為零的區(qū)間[0，1]。從而y的討論區(qū)間為；

在區(qū)間[0，1]內(nèi)畫垂直于y軸的直線，此直線進(jìn)去、出去時(shí)與區(qū)域D的兩個(gè)交點(diǎn)的x的值分別為0和1，此即為定積分的上下限。

故Y的邊緣概率密度函數(shù)為：

4 結(jié)語(yǔ)

從上例的計(jì)算過程可以發(fā)現(xiàn)，計(jì)算X的邊緣概率密度函數(shù)時(shí)，討論區(qū)間的確定相當(dāng)于計(jì)算二重積分時(shí)X-型區(qū)域外層的確定方法，而計(jì)算X的邊緣密度函數(shù)公式中定積分上下限的確定相當(dāng)于計(jì)算二重積分時(shí)X-型區(qū)域內(nèi)層上下限的確定。計(jì)算Y的邊緣概率密度函數(shù)時(shí)，討論區(qū)間的確定相當(dāng)于計(jì)算二重積分時(shí)Y-型區(qū)域外層的確定方法，而計(jì)算Y的邊緣密度函數(shù)公式中定積分上下限的確定相當(dāng)于計(jì)算二重積分時(shí)Y-型區(qū)域內(nèi)層上下限的確定。從而把學(xué)生高等數(shù)學(xué)中熟悉的知識(shí)與概率統(tǒng)計(jì)中不熟悉的內(nèi)容相結(jié)合，學(xué)生容易理解且計(jì)算方便。

參考文獻(xiàn)

[1] 魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社，2001：118-185.