基于樣本篩選機制的自適應光譜重建算法

唐偲

摘要：文章提出了一種新的樣本篩選機制，該機制利用樣本特征匹配的方式根據每個測試樣本的特性選擇最佳地自適應子集，然后在自適應子集中計算重建出物體的光譜反射率。考慮到計算復雜度和重建精度，根據測試樣本的特性預先在光譜顏色空間進行預篩選，然后在預篩選的樣本子集中計算與測試樣本的相似度。正如結果顯示的那樣，文章提出的樣本篩選機制是一種利用樣本之間相似度而不是樣本之間的距離的篩選方式，顯著地提高了光譜重建精度。

關鍵詞：光譜重建；偽逆法；三刺激值；顏色特征匹配

顏色的定量描述一直以來都是色彩學的研究熱點，它通常在三維空間中由三刺激值來表示。在三維空間中，被廣泛認可的表達方式為基于色度的三刺激值法，而物體表面的光譜反射率被人們稱為物體顏色最本質的屬性，它能準確地表示在任一觀察環境下物體的顏色信息。因此，獲取物體表面的光譜顏色信息可從根本上解決同色異譜問題，已成為最近的研究熱點。然而，多光譜成像設備存在重構過程復雜、時間復雜度高、價格昂貴等因素限制了其在印刷、藝術品復制和網上購物等領域的應用；同時這些領域的顏色獲取設備僅有三通道顏色值，例如常規相機、掃描儀及色度儀等。

因此，利用數學算法從顏色色度值到光譜反射率的光譜重建技術得到了廣泛地研究。盡管該數學算法的求解是欠定矩陣的求解，但其重建的光譜反射率仍然具有較高地重建精度。目前，光譜反射率重建算法按照其原理基本上可分為兩種類型：一種是基于機器學習的重建算法（神經網絡、支持向量積、壓縮感知、遺傳算法等）；另一種是基于線性模型的重建算法（線性插值、非負矩陣分解、主成分分析法、偽逆法等）。很顯然，基于機器學習的重建算法要求算法的時間復雜度高，這樣基于線性模型的重建算法得到了廣泛地研究。由于偽逆法是一種能夠直接地反映顏色三刺激值與光譜反射率之間的對應關系的線性模型，所以樣本篩選機制的精度評價都采用該方法進行。

為了提高光譜的重建精度，研究人員對標準的基于線性模型的重建算法進行了修正，其主要是為了根據每個測試樣本的特性來創建最佳訓練樣本子集。這些訓練樣本的篩選機制可分為兩種類型：第一種是固定分區法，它主要涉及到將光譜顏色空間按照顏色特性進行劃分，且標準模型應用到每個子分區中；Garcia-Beltran等人通過聚類分析按照顏色的色相對光譜顏色空間進行固定分區劃分，然后線性模型應用在每個分區中；Lee等人基于Macbeth ColorChecker顏色特性劃分Munsell樣本顏色空間，然后線性模型應用到每個分區中；Ayala等人和張顯斗等人根據Munsell樣本色相自身的特性對光譜顏色空間進行劃分，在每個分區中進行光譜重建。另一種是以色差值作為樣本的篩選機制，使用測試樣本與訓練樣本之間的色差值大小進行樣本預篩選，然后使用預篩選的樣本進行光譜重建；Babaei等人利用色差值的大小來形成加權函數，從而通過加權函數來影響光譜的重建精度。然而，色差值的局限只能選擇臨近的樣本對光譜重建精度產生較大影響，這樣人為地導致把相似的光譜排除在外。

本文提出了一種基于樣本篩選機制的自適應光譜重建算法，該方法基于顏色特征匹配來實現由CIE XYZ三刺激值來重建物體光譜反射率。我們根據顏色特征來篩選相似樣本曲線，進而提高光譜重建的精度。為了體現提出樣本篩選機制的優勢，該方法的性能在色度精度和光譜精度上與傳統的方法進行了比較分析。

一、基本理論

式中AT和 r 是表示為兩個矩陣，分別涉及到樣本的三刺激值和光譜反射率向量。AT是系數矩陣，是標準光源和顏色匹配函數的內積，而 r代表的是矩陣轉換。由式（3）可知，光譜形狀越相似，其對應的三刺激值向量也具有越高的相似度。

對于一個給定地三刺激值，物體的光譜反射率可直接通過系數矩陣的違逆而得到，而這種直接從三刺激值空間到光譜空間的重建方法叫做直接重構法。由于系數矩陣是欠定矩陣，光譜反射率的重構需使用違逆矩陣來進行計算，這樣必然導致較大的重構誤差。使用偽逆法來重建光譜反射率的公式如下：

公式（4）建立了三刺激值（CIE XYZ或RGB相機響應值）空間與相對應的光譜反射率之間的映射關系。一旦確定了轉換矩陣，這時乘以三刺激值向量就可計算出相對應的光譜反射率。使用標準的偽逆法得到的轉換矩陣是所有樣本的最優解而非是每一個單獨的樣本，這也是造成標準線性模型重建光譜精度低的原因。如果轉換矩陣的形成是根據每一個樣本的特性進行確定來可以提高光譜的重建精度，所以樣本篩選機制可根據樣本三刺激值向量特征進行樣本選擇。然而，三刺激值不能代表著樣本的光譜向量特征，這主要是由于同色異譜現象。正常情況下，樣本之間的同色異譜現象并不嚴重，主要是由于同色異譜對具有相同的光譜形狀趨勢。因此，基于顏色特征匹配原理來從本質上探討三刺激值空間到光譜反射率空間之間的映射關系。該樣本篩選機制首先依據顏色特征匹配選擇機制動態選擇訓練樣本集，通過測試樣本與訓練樣本集之間的匹配/不匹配關系而得到自適應樣本子集，基于自適應樣本子集計算得到重建光譜。理論上來講，增加不同環境下的物體三刺激值的數量可有效地避免同色異譜問題，但常規色度獲取設備常常僅能獲得固定環境下的三刺激值。

二、實驗過程

本文的測試樣本選擇三個不同的樣本集：Munsell樣本集、ColorChecker SG和Vrhel樣本集進行測試驗證。Munsell樣本集包含1269個樣本光譜反射率值，其來自于Munsell 半光澤度色卡；ColorChecker SG光譜顏色信息是通過GretagMacbeth Eye-one Pro 分光光度儀測量得到；Vrhel數據集包含354個不同材料的光譜反射率。

為了獲得最佳轉換矩陣，具有樣本篩選流程如下：首先，所有樣本在CIE D65光源和CIE 1964標準觀察者的環境下計算樣本的CIE XYZ三刺激值；然后，利用顏色特征匹配從訓練樣本中篩選得到自適應子集；這種樣本篩選機制是利用樣本之間的相似度，樣本之間的相似度通過公式（5）計算得到：

式中，t 和 r 代表著測試樣本的向量和訓練樣本集的向量；這種方法把樣本的三刺激值看作一個向量，計算結果僅顯示了向量的方向性而非是向量的大小，從而計算得到相對應的相似度。為了便于訓練樣本的選擇，選擇公式（6）對數值進行歸一化處理。式（6）中，α和α′分別代表著原始和歸一化的角度值；αmax代表著原始角度值的最大值。換句話說，為了得到與測試樣本具有良好的光譜相似度的訓練樣本曲線，需要確定一個較佳地相似度系數，以此來建立自適應子集。例如，如果定義相似度系數為t來作為 最小選擇系數，自適應子集的相似度歸一化范圍為r；最后，通過公式（4）計算得到具有測試樣本特性的轉換矩陣。

為了證明提出的算法的有效性和準確性，同時常規偽逆法和加權偽逆法來重建光譜反射率。為了定量分析的偽逆法、加權偽逆法和提出的算法的結果，選擇均方根誤差（RMSE）和CIE LAB色差值（使用CIE1964標準觀察者和光源A，D50，E，F2）來計算測試光譜和重構光譜反射率之間的差值。

三、結果和討論

為了在細節上評價提出算法的精度，相似系數的數值是一個非常重要的決定因素。換句話說，相似系數決定著相對應的最佳自適應子集。正如Babaei等人所討論的那樣，最佳條件的實現就是測試樣本是訓練樣本集中的一個樣本。因此，Munsell樣本集作為訓練樣本集，而三個樣本集作為測試樣本集。圖1展示了在不同的相似系數下，RMSE的平均值和在光源A和CIE 10°標準觀察者的色差平均值。

從圖1可看出，隨著相似系數的不同而樣本差值的分布也相對應的的發生變化，當相似系數為=0.95時重構誤差在最佳值。因此，在本文中相似度系數選擇為=0.95。

為了驗證本文所提出的算法機理，光譜反射率的重建過程展示了圖2中，光譜曲線是從Munsell樣本集，ColorChecker SG樣本集和Vrhel數據集中隨機選擇的樣本。

正如圖2所展示，測試樣本從訓練樣本集Munsell中選擇具有較高曲線形狀相似度而不是選擇的臨近的樣本來作為自適應子集。為了進一步分析所選擇樣本的特征，計算了每一個所選擇樣本和測試樣本的CIE L*C*H*，且把樣本展示在色相環上。通過圖2可看出，測試樣本的色相角分布以測試樣本色相角為中心的固定角度范圍內。為了節省計算時間，預先確定固定的角度范圍來預篩選樣本。例如，如果測試樣本的色相角是和預先確定的角度是，則動態分區的角度范圍是。在實驗中，計算時間隨著預先確定的角度的變小而顯著減少，但顏色的重建精度基本上保持不變。因此，考慮到計算復雜度和重建精度，本文選擇在光譜顏色空間進行預篩選，然后計算與測試樣本相似度。

為了驗證提出算法的準確性，比較了偽逆法、加權偽逆法和提出方法的光譜重建精度。數學統計結果展示在表格1中。首先，加權偽逆法和提出的算法計算精度明顯高于標準偽逆法，并且提出算法的優勢要明顯好于加權偽逆法。這樣可以說明提高重構光譜精度不僅能夠使臨近的樣本，還可以是通過光譜相似度；為了客觀地評價這三種不同的算法，測試樣本集和重構樣本集之間的平均光譜誤差展示在圖3～5。

通過分析圖3～5，可以看出本文提出的算法在光譜重建精度方面要明顯優于其他兩種算法，這也是本文的光譜重建精度高于其他兩種方法的原因。

第二，表1展示所有方法在重建Munsell樣本集時重建精度要高于其他兩個樣本集。其主要原因是不同樣本集具有自身的特性，使其應用場景不同。

第三，在三種算法和測試樣本下，CIELAB色差在CIE光源A和F2要明顯大于其他光源D50和E。這種現象跟Ayala等人和Zhang等人的所得到的結論相一致，主要是由于三刺激值的獲得受到光源光譜曲線的影響。

四、結論

本文提出了一種新的基于顏色特征匹配樣本選擇機制的自適應光譜重建算法，通過創建根據樣本自身特性的自適應轉換矩陣，實現通過三刺激值來重建光譜反射率。為了減少計算時間，根據測試樣的色相角進行預篩選以此來實現算法計算復雜度的降低。測試樣本重構精度的提高依據篩選樣本之間相似度而不是樣本之間的距離。

本文選擇三種測試樣本：Munsell樣本集、ColorChecher SG樣本集和Vrhel樣本集進行測試，并與標準偽逆法、加權違逆法進行比較。正如結果展示的那樣，本文提出的樣本篩選機制是一種有效地提高光譜重建精度的篩選方式。

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（作者單位：上海理工大學光電信息與計算機工程學院）