一元復合函數分解標準淺析

彭雨明 劉會靈

摘要：復合函數是初等函數中比較重要的一種函數類型。一元復合函數的求導要遵循復合函數求導的鏈式法則。因此能正確分析清楚一元復合函數是由哪些“簡單函數”復合而成，對于一元復合函數的求導結果是否正確起到關鍵的作用。本文主要針對如何正確分解一元復合函數，包括分解的方法和標準來做研究。

關鍵詞：復合函數；函數結構；分解標準

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）26-0215-02

一、引言

一元復合函數能否正確分解，在復合函數求導等問題上起到事關成敗的關鍵作用。而在很多高校高等數學知識教學中，一般教材找不到一元復合函數分解的方法和標準的說明，且有關這方面研究和分析的論文更是難覓蹤跡。因此很多老師在向學生講授這個問題時，方法可謂五花八門，標準可謂形形色色，甚至有些老師自己都搞不清楚應該執行哪一套規范的分解方法和標準。在這個基礎上，再去要求學生正確掌握復合函數的分解明顯是不切實際的。復合函數的分解必須形成一套固定的方法和分解的標準，從上面的實際問題分析來看顯得非常重要。

二、基礎知識回顧

（一）基本初等函數

（二）復合函數

設y是u的函數y=f（u），定義域為D，而u是x的函數u=φ（x），其定義域為G，值域為E，且E？奐D，則對于G內的每一個x，經過中間值u=φ（x），唯一對應著一個確定的y，于是因變量y經過中間變量而成為自變量x的函數，記為y=f（φ（x）），x∈G，稱函數y=f（φ（x））是函數y=f（u）和函數u=φ（x）的復合函數。

（三）初等函數

由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次的函數復合所得到，且能用一個式子表示的函數，稱為初等函數。常見的分段函數一般不是初等函數，本文并不討論分段函數類型，也就是我們研究的函數主要是初等函數類型。

三、函數的結構

微積分主要研究對象是函數，因此函數屬于那種類型，也就是我們研究的函數“結構”如何，對函數性質的進一步得出顯得非常重要。比如在函數求導這個問題上，確定函數“結構”類型，才能采取對應求導法則，這如同確診疾病類型和給出何種治療處方一樣。一旦連函數類型都確定出錯，那就很難正確求出這個函數的導數了。

函數“結構”一般從最終的類型上看，主要常見有以下兩大種類型：（1）本身是個復合函數；（2）只是個加法、減法、乘法、除法式子。

一般確定函數類型的方法是，代入一個自變量x的值，看最終一步因變量y是如何計算出來的。如果最后一步我們是通過加、減、乘、除運算計算出值的，那么我們就可以把這個函數劃歸到加法、減法、乘法或除法式子中去，也就是可以把這個函數理解為是一個和式、差式、積式或商式。如果不是，一般它就是一個復合函數，也就是我們在進一步的計算中需要對它進行分解。

例1 分別指出下列函數的“結構”類型。

仔細觀察一下上面的兩個復合函數的分解，為何第二個函數計算步驟更多，而分解出來的簡單函數卻“更少”一些呢？這就有必要進一步根據前面所說的函數“結構”相關知識，來制定復合函數分解的標準。

（二）分解的原則和標準

（1）復合函數分解為簡單函數時，一般要求除最后一個函數外，前面的函數一定都是基本初等函數；（2）最后一個分解出來的函數可以是以下兩種情形：要么是基本初等函數；要么是一個加減乘除算法式子，二者必居其一。對于第二種情形，最后一個函數絕對不應該是復合函數，不然說明函數分解不徹底，需要進一步分解下去，直至符合前兩條準則為止。

（二）復合函數分解中的特例

考慮到求導這個問題時，基本初等函數或加減乘除運算式相對復合函數來說一般更為簡單。對于基本初等函數求導，我們直接利用基本求導公式，對于加減乘除算式求導，我們可以利用求導四則運算法則，而對于復合函數求導，卻需要對函數先進行復合分解，再利用鏈式法則求導。有些函數既可以看作復合函數，還可看作是基本初等函數，還有些函數既可以看作是復合函數，還可以看作是函數的加減乘除運算式，因此在這種情況下，我們寧愿不把這個函數當作復合函數，而當作其他形式求導，從而避免復合分解容易出錯、求導變得復雜等問題的出現。

六、小結

從上面復合函數分解的常見典型問題中可以發現，復合函數分解確定一套可行的標準顯得非常重要，這樣我們在后續的知識學習中，才能保持知識的連續性和一貫性。對于復合函數的分解，在給學生講解的時候，把標準放在前面，用典型容易出錯的例題來對學生進行有針對性的訓練，一般會在復合函數求導這個既是重點又是難點的知識學習時，取到非常好的效果。

參考文獻：

[1]何冬梅，楊智明.關于“復合函數分解的原則”[J].高校理科研究，2011，（20）：524.

[2]劉忠志.高等數學[M].北京：北京交通大學出版社，2015：12-13.