波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)幾何解題中的應(yīng)用
——以一道中考題為例

楊 娟 鐘文雯

(成都市新都一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校,四川 成都 610500)

1 問(wèn)題提出

通過(guò)對(duì)中考中難題的完成情況以及解題方法、策略的了解,學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們?cè)谄綍r(shí)的解題中存在思路不清晰、思維過(guò)程不完整、沒(méi)有對(duì)問(wèn)題進(jìn)行及時(shí)的回顧反思和深入思考等現(xiàn)象,導(dǎo)致在時(shí)間有限的中考中,很難在短時(shí)間內(nèi)找到解決問(wèn)題的方法并得出最終的正確答案.因此筆者希望能夠通過(guò)利用經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐驗(yàn)證的對(duì)學(xué)生解題有切實(shí)幫助的解題方法——波利亞“怎樣解題表”,彌補(bǔ)學(xué)生思考的不完整性,幫助學(xué)生在日常的解題學(xué)習(xí)中,形成完整的解題思路,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維,從根本上提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 波利亞“怎樣解題表”

首先,理解題目.理解題目是解題的首要前提.從題目的敘述開(kāi)始,熟悉題目,找出“未知量”,深入理解題目,將題目的主要部分分離出來(lái),“已知數(shù)據(jù)是什么?條件是什么?[1]”

其次,擬定方案.擬定方案是解題的關(guān)鍵步驟.首先通過(guò)觀察未知量,并盡量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的題目[1].通過(guò)對(duì)比兩者的共同點(diǎn)和區(qū)別,總結(jié)出類似題目的解決方法和策略,并嘗試應(yīng)用到待解題目中,找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的直接或間接聯(lián)系,必要時(shí)考慮輔助題目,最終得出一個(gè)解題方案.這個(gè)過(guò)程需要聯(lián)系舊知,符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū).

再次,執(zhí)行方案.執(zhí)行方案是解題的具體實(shí)施過(guò)程.執(zhí)行之前擬定的方案是對(duì)解題方案的合理性和正確性的檢驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生整理零散思路,形成條理性思維.

最后,回顧.回顧是對(duì)解題過(guò)程的檢驗(yàn)和完善,是對(duì)數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)培養(yǎng)的提升.通過(guò)檢驗(yàn)解題中所得到的結(jié)果和論證、用不同的方法推導(dǎo)結(jié)果實(shí)現(xiàn)一題多解并進(jìn)行方法優(yōu)劣的比較從中擇優(yōu)擇簡(jiǎn)、考慮所得結(jié)果和方法在其它題目中的適用性最終實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的遷移.但這個(gè)步驟在實(shí)際解題往往是最容易被忽略的.

“怎樣解題表”的四個(gè)環(huán)節(jié)是在完整解答一道題目時(shí)必定會(huì)涉及到的,是思維的層層遞進(jìn),且更多的是教師啟發(fā)性的提問(wèn),而不是一種解題的固定模式,所以教師在啟發(fā)學(xué)生解答題目時(shí),并非要涉及到表中的所有問(wèn)題,而應(yīng)根據(jù)不同題目靈活運(yùn)用,創(chuàng)造性地使用“怎樣解題表”[2].

3 波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)解題及教學(xué)中的具體應(yīng)用

例1面積為6的ABCD紙片中,AB=3,∠BAD=45°,按下列步驟進(jìn)行剪裁和拼圖.

圖1 ABCD剪開(kāi)圖 圖2 平行四邊形剪開(kāi)圖 圖3 三角形DCF翻轉(zhuǎn)圖

第二步:如圖2,將△ABE紙片平移至△DCF處,將△ADE紙片平移至△BCG處;

第三步:如圖3,將△DCF紙片翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)使其背面朝上置于△PQM處(邊PQ與DC重合,△PQM與△DCF在CD同側(cè)),將△BCG紙片翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)使其背面朝上置于△PRN處(邊PR與BC重合,△PRN與△BCG在BC同側(cè)).

則由紙片拼成的五邊形PMQRN中,對(duì)角線MN長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)___.

3.1 第一步:耐心審題,理解題目

首先要明確目標(biāo):“該題的未知量是什么?”

“五邊形的一條對(duì)角線的最小值.”

“已知數(shù)據(jù)是什么?”

“條件是什么?”

“未知量和條件之間的聯(lián)系是什么?或者說(shuō)通過(guò)現(xiàn)有的條件是否能夠確定未知量?”

3.2 第二步:探索思路,擬定方案

“我們已經(jīng)知道了未知量是五邊形的一條對(duì)角線的最小值,那你們能想到一道和該題未知量相同的題嗎?”

“沒(méi)有吧,我們沒(méi)有學(xué)過(guò)怎樣求五邊形的對(duì)角線.”

“那能想到一道和該題未知量相似的題嗎?拋開(kāi)“五邊形”這個(gè)前提,把重點(diǎn)放到“對(duì)角線”上,請(qǐng)大家仔細(xì)想想,有沒(méi)有學(xué)過(guò)求其它多邊形的對(duì)角線?”

“有的,我們學(xué)過(guò)求正方形、長(zhǎng)方形、還有菱形的對(duì)角線.”

“非常好!大家想到了以前學(xué)過(guò)的三個(gè)特殊的四邊形,那還能想起它們的對(duì)角線是怎么求的嗎?”

“連接MN后得到△MNP(如圖4),但不知道它是否為直角三角形.”

圖4 圖3變式1圖 圖5 圖3變式2圖 圖6 圖3變式3圖

“所以下一步需要去嘗試判斷它是否為直角三角形?如果△MNP是直角三角形,那此時(shí)未知量是什么呢?”

“未知量是Rt△MNP(如圖5)的斜邊MN.如果我們知道了直角邊MP和直角邊NP的值,那我們就可以用勾股定理求出MN啦!”

“那直角邊MP和直角邊NP的值是否已知呢?”

“未知,但通過(guò)題目中的已知數(shù)據(jù)和條件應(yīng)該是可以求出MP和NP的值,是等于AE.所以只要求出AE的最小值,MN的最小值就求出來(lái)啦!”

“非常棒!現(xiàn)在解決這道題的方案就擬訂好了:先證明△MNP是直角三角形,MP=NP=AE;再求AE的最小值.”

3.3 第三步:執(zhí)行方案,細(xì)化推理

待解決的問(wèn)題一:證明△MNP是直角三角形,MP=NP=AE.

回歸定義:平移、翻折是全等變換,變換前后的全等圖形中對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等.

證明:由題意可知:△ADE≌△BCG≌△PRN,△ABE≌△DCF≌△PQM,

因?yàn)椤螹PQ=∠EAB,∠RPN=∠DAE,PM=PN=AE,

所以∠MPQ+∠RPN=∠EAB+∠DAE=45°,又因?yàn)锳BCD,所以∠DAB=∠DP(C)B=45°,

所以∠MPN=∠MPQ+∠RPN+∠DPB=45°+45°=90°,

待解決的問(wèn)題二:求AE的最小值

回歸定義:垂線段最短.

3.4 第四步:回顧反思,深化理解

3.4.1 轉(zhuǎn)換角度,一題多解

解法一(分析法):在上述解答過(guò)程中,我們的關(guān)注點(diǎn)是放在未知量上,此時(shí)解題的思維模式是找未知量解出未知量所需要的條件 →對(duì)比題目已知數(shù)據(jù)和條件是否符合.

解法二(直接法):在學(xué)生自主思考解題時(shí),他們可能會(huì)把更多關(guān)注點(diǎn)是放在已知量上,此時(shí)解題的思維模式是看已知量 →通過(guò)已知量能得出的可能結(jié)果 →在眾多結(jié)果中找到該題的結(jié)果.

兩種解法的思維方式和立足點(diǎn)是截然不同的.解法一是從結(jié)果找條件,解法二則是由已知推未知,顯然解法一能很好的避免學(xué)生在解題過(guò)程中偏題,但對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和思維能力要求較高,而解法二則降低了對(duì)學(xué)生的思維能力要求,但同時(shí)也容易使學(xué)生在解題過(guò)程中偏離,浪費(fèi)時(shí)間.

3.4.2 原題目條件不變,只改問(wèn)題

將原問(wèn)題“則由紙片拼成的五邊形PMQRN中,對(duì)角線MN長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)___.”改為:則由紙片拼成的五邊形PMQRN中,當(dāng)對(duì)角線MN長(zhǎng)度取最小值時(shí),求陰影部分的面積?

通過(guò)這樣的改編,是在能夠解決原問(wèn)題的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步加強(qiáng)了對(duì)三角形相似知識(shí)點(diǎn)的考查,拓寬了考查面,從不同角度探析其解題思路,并通過(guò)變式探究這一類問(wèn)題的通解[3].

通過(guò)利用波利亞“怎樣解題表”解決上述問(wèn)題,很好地展現(xiàn)了波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用,同時(shí)也反映出波利亞“怎樣解題表”中所提供的完整的解題步驟.理解題目,弄清已知未知;聯(lián)系舊知,以舊法解新題,已知未知建立聯(lián)系,細(xì)化目標(biāo),逐一求解;回顧反思,深化結(jié)果遷移解題方法,為學(xué)生的數(shù)學(xué)解題提供了清晰的思路,能夠幫助學(xué)生找到明確的解題方向最終得出正確答案.同時(shí)波利亞“怎樣解題表”中所提到的“回顧”的環(huán)節(jié),指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)深入思考問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出新問(wèn)題,使學(xué)生的思維不僅僅局限于解這一道題上,對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也有很大幫助.

因此,在日常解題教學(xué)中,教師應(yīng)該起到積極引導(dǎo)的作用,有目的性地引導(dǎo)學(xué)生,靈活利用波利亞“怎樣解題表”的解題思維進(jìn)行解題,啟發(fā)學(xué)生思考,從而有效提升解題效率.