例析正態分布

陳靜 柯淑芬

正態分布是隨機變量基礎而核心的部分，通過利用公式處理數據，對某事件做出預測. 處理本節習題的重要思想是化歸思想，將未知的、不熟悉的問題轉化為已知的、熟悉的問題，是我們常用的手段與思考問題的出發點. 下面我們通過幾道例題一起來了解如何處理正態分布的題型.

[參數對正態分布圖象的影響]

例1 已知三個正態分布密度函數[φix=12πσie-x-μi22σ2i]

（[x∈R]，[i=1，2，3]）的圖象如圖所示，則（ ）

[O][x]

A. [μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2>σ3]

B. [μ1>μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]

C. [μ1=μ2<μ3]，[σ1<σ2=σ3]

D. [μ1<μ2=μ3]，[σ1=σ2<σ3]

解析 平均數μ決定正態曲線的對稱軸（中心位置）；標準差σ決定正態曲線的陡峭或扁平程度. σ越小，曲線越陡峭；σ越大，曲線越扁平. 從圖象中不難發現[y=φ1（x）]與[y=φ2（x）]的形狀相同且[y=φ3（x）]的圖象比他們要扁平，[y=φ2（x）]與[y=φ3（x）]圖象的對稱軸相同且在[y=φ1（x）]圖象的對稱軸的右邊.

答案 D

[正態分布曲線的對稱性]

例2 如圖是正態分布N～（0，1）的正態分布曲線圖，下面4個式子中，能表示圖中陰影部分面積的個數為（ ）

[O][y][x][-a]

①[12-φ（-a）] ②[φ（-a）]

③[φ（a）-12] ④[12φ（a）-φ（-a）]

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 該題目需掌握以下幾個知識點：曲線與x軸圍成的區域面積表示概率，其值為1；圖象關于y軸對稱，因此y軸兩側對應的區域面積均為[12]；[φ（a）]表示的是指[x≤a]時對應的區域面積. 在[-a≤x≤a]處的圖象關于y軸對稱，結合這幾點不難得出①③④正確.

答案 C

[標準正態分布概率的求解]

例3 設隨機變量ε服從N（0，1），求下列各式的值：

（1）[P（ε≥2.55）]；

（2）[P（ε<-1.44）]；

（3）[P（ε<1.52）].

分析 一個隨機變量若服從標準正態分布，則可以借助標準正態分布表，查出其值. 但在標準正態分布表中只給出了[x0≥0]，即[P（x解 （1）[P（ε≥2.55）=1-P（ε<2.55）]

=[1-φ（2.55）=1-0.9946=0.0054]；

（2）[P（ε<-1.44）=φ（-1.44）=1-φ（1.44）]

[=1-0.9251=0.0749]；

（3）[P（ε<-1.52）=P（-1.52<ε<1.52）]

[=φ（1.52）-φ（-1.52）=2φ（1.52）-1]

[=2×0.9357-1=0.8714].

[一般正態分布密度函數結構分析及相關概率的求解]

例4 設[X～N（μ，σ2）]，且總體密度曲線的函數表達式為：[f（x）=12πe-x2-2x+14，x∈R].

（1）求μ，σ；