橢圓中面積的最值問題

陳開懋 幸芹

橢圓中面積的最值問題，一般分為兩種情況：一是題目直接考查某直線或某圖形與已知橢圓所圍成陰影部分的面積；二是考查橢圓中的其他問題，但可以轉化為該橢圓中某特定面積問題加以計算解答. 解決此類問題的常規方法是將直線方程與橢圓方程聯立消去一個變量后利用韋達定理以及點到直線距離公式建立目標函數，將面積問題轉化為求函數最值問題，應熟練掌握.

[橢圓中的三角形面積最值]

例1 已知橢圓C：[x24+y23=1]，若經過橢圓右焦點F2作直線l交橢圓于A，B兩點，求△ABF1面積的最大值.

解析 設直線AB的方程為[x=my+1][m∈R]，

把[x=my+1]代入[x24+y23=1]得，

[（3m2+4）y2+6my-9=0]，

顯然[Δ>0]，設A[x1，y1]，B[x2，y2]，

則[S=12×2×y1-y2=][y1-y2]，

又[y1+y2=-6m3m2+4]，[y1?y2=-93m2+4]，

[（y1-y2）2=][（y1+y2）2-4][y1?y2=483m2+3（3m2+4）2]，

令[t=3+3m2]，則[t≥3，][（y1-y2）2=48t+1t+2]，

由于函數[y=t+1t]在[3，+∞]上單調遞增，

所以[t+1t≥103]，故[（y1-y2）2≤9]，即[S≤3]，

故△ABF1面積的最大值等于3.

例2 已知橢圓[x22+y24=1]，過橢圓上的點P（1，[2]）作傾斜角互補的兩條直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點，求△PAB面積的最大值.

解析 設直線AB的方程為：[y=2x+b]，

代入[x22+y24=1]，得[4x2+22bx+b2-4=0]，

所以[Δ=8b2-16（b2-4）>0]，解得[b2<8].

設A[x1，y1]，B[x2，y2]，

則|AB|=[1+22][x1+x22-4x1x2]=[34-b22]，

點P到直線AB的距離[d=b3]，

∴ [SΔPAB=12AB?d=12b?][4-b22]

=[122-b2-42+16][≤][2]，

當且僅當b=±2時取等號，所以△PAB面積的最大值是[2].

總結 （1）選擇合適的三角形面積表達式：①直接法：[SΔABC=12×底×高]，其中求底一般用到弦長公式，求高一般用到點到直線的距離公式；②割補法：用垂直于坐標軸的線段進行分割，并將垂直于坐標軸的線段當三角形的底邊，高用點坐標表示.

（2）關于面積目標函數中變量的選擇：①選擇點坐標作為變量；②選擇直線的斜率作為變量；③選擇直線的截距作為變量；④同時選擇直線的斜率和截距作為變量.

（3）關于直線方程形式的設法：①[y=kx+b]；②[x=my+n]. 選擇不同直線方程的形式，可以起到減少分……