橢圓中的離心率最值問題

柯淑芳

橢圓中的離心率最值問題是解析幾何中的重點和難點，往往借助于圖形的性質、橢圓的范圍、正余弦函數的有界性、均值不等式等來構造關于a，b，c的不等式，從而達到求解的目的. 本文主要研究如何利用橢圓焦點三角形中的角求解橢圓中的離心率最值問題.

首先給出一些關于橢圓焦點三角形的相關概念和性質如下：

橢圓上任意一點P與兩焦點所構成的三角形，稱為焦點三角形.

性質1 若[F1，F2]是橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的兩個焦點，[P]是橢圓上一點，且[∠F1PF2=θ]，則[SΔF1PF2=b2tanθ2].

[P][F1][F2][x][y][θ] [O]

證明 設[PF1=m]，[PF2=n]，

由余弦定理得[m2+n2-2mncosθ=F1F22=4c2，]

由橢圓定義得[m+n=2a，]

由上得：[mn=2（a2-c2）1+cosθ=2b21+cosθ]，

[∴][SΔF1PF2=12mnsinθ=b2sinθ1+cosθ=b2tanθ2].

性質2 已知橢圓方程為[x2a2+y2b2=1（a>b>0），]兩焦點分別為[F1，F2，]設焦點三角形[PF1F2]中[∠F1PF2=θ，]則[cosθ≥1-2e2]（當且僅當動點為短軸端點時取等號）.

證明 在[△F1PF2]中，由余弦定理可知

[cos∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1?PF2]

[=（PF1+PF2）2-2PF1?PF2-4c22PF1?PF2]

[=2a2-2c2PF1?PF2-1≥2a2-2c2PF1+PF222-1]

[=2a2-2c2a2-1=1-2e2].

性質3 已知[B]為橢圓短軸的端點，[F1，F2]為橢圓的兩個焦點，[O]為坐標原點. ①[sin∠F1BO=ca=e]，②[P]為橢圓上任意一點，當[P]位于短軸端點時[∠F1PF2]達到最大值即[∠F1BF2≥∠F1PF2].

[P][B][F1][F2][x][y][θ] [O]

例1 [F1，F2]為橢圓[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左右焦點，若橢圓上存在點[P]，使得[∠F1PF2=π2]，求橢圓離心率[e]的取值范圍.

解法一 設[B]為橢圓短軸上的一個端點，

則[∠F1BF2≥∠F1PF2=π2].

所以，[∠F1BO≥π4].

所以，[sin∠F1BO=ca=e≥22].

又因為[0解法二 利用余弦定理，∵[∠F1BF2≥90°]，

∴[cos∠F1BF2=a2+a2-4c22a2≤0]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法三 由焦點三角形的性質可知

[S△F1PF2=b2tan45°]，

∴[b2≤S△F1PF2=12?2c?b=bc]，即[b≤c]，

∴[b2≤c2]，∴[a2-c2≤c2]，

∴[e∈22，1].

解法四 由焦半徑公式得

[PF1=a+ex0]，[PF2=a-ex0]，

由勾股定理得[（a+ex0）2+（a-ex0）2=4c2]，

即[x02=2a2-a2c2≥0]，

∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1].

解法五 利用均值不等式，設[PF1=m，PF2=n]，

∴[m2+n2=4c2]，

又[2a=m+n]，

∴[4a2=m2+n2+2mn≤2（m2+n2）=8c2]，

即[a2≤2c2]，∴[e=ca≥22]，

∴[e∈22，1] .

點評 在這五種解題方法中，主要從兩個方向構造不等式最終得到橢圓離心率的最值，一個是角度（如解法一、二、三），另一個是長度（如解法四和五）. 顯然，用長度構造計算量稍大些；用角度構造，特別是利用焦點三角形的性質直接計算簡單方便得多.

下面看看利用橢圓焦點……