關(guān)于無窮小量的幾個(gè)問題的解析

李麗芳　杜娟　宋慶鳳

摘要：本文以無窮小量的歷史起源（即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)）為載體，旨在介紹要用“運(yùn)動(dòng)”觀點(diǎn)和極限思想學(xué)習(xí)無窮小理論，并給出了教學(xué)實(shí)踐中常遇到的幾個(gè)關(guān)于無窮小量問題的解析。

關(guān)鍵詞：無窮小；數(shù)學(xué)危機(jī)；大學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）34-0178-02

一、無窮小量的起源

無窮小量是高等數(shù)學(xué)體系中的一個(gè)極其重要的概念。歷史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)[1]就是由于對(duì)牛頓“無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。牛頓創(chuàng)立的微積分基礎(chǔ)就是無窮小量，這是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新，但也有邏輯上的問題。我們以一個(gè)淺顯的例子來看牛頓的思考。

例：自由落體在時(shí)間t下落的距離為S（t）= gt ，求物體在 的瞬時(shí)速度。這可以先求平均速度，即用下落距離的改變量除以時(shí)間的改變量 ，易求 =

gt + g·Δt，當(dāng)Δt越小時(shí)，該平均速度就越接近物體在t 的瞬時(shí)速度；當(dāng)Δt變成無窮小時(shí)，上式右端的

g·Δt也變成無窮小，因而上式右端就可以認(rèn)為是

gt ，牛頓認(rèn)為這就是物體在t 的瞬時(shí)速度。由于當(dāng)Δt變成無窮小時(shí)，ΔS也是無窮小，因此牛頓認(rèn)為，瞬時(shí)速度是兩個(gè)無窮小的比。

盡管當(dāng)時(shí)對(duì)于什么是無窮小并沒有公認(rèn)的一個(gè)精確定義，但牛頓的這一方法很好用，解決了大量過去無法解決的科技問題，所以由牛頓創(chuàng)立的微積分就被科技界廣泛接受，并得以迅速發(fā)展。但是，從上述例子中也可以看出，當(dāng)時(shí)的微積分在推導(dǎo)上并不嚴(yán)謹(jǐn)，因此在當(dāng)時(shí)遭到了以英國(guó)大主教貝克萊為代表的許多人的責(zé)難。貝克萊的責(zé)難相當(dāng)直接：“無窮小”作為一個(gè)量，究竟是不是0？

具體說，上述例子中，牛頓從平均速度的表達(dá)式中，讓?duì)變成無窮小，得到物體的瞬時(shí)速度gt ，這在推導(dǎo)中有邏輯上的毛病。貝克萊認(rèn)為，式子

=gt + g·Δt成立是以Δt≠0為前提的，那么，為什么又可以讓?duì)=0而求得瞬時(shí)速度呢？貝克萊還諷刺挖苦說：既然ΔS和Δt都變成“無窮小”了，而無窮小作為一個(gè)量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的靈魂”了！這就是著名的“貝克萊悖論”。由此引發(fā)了歷史上第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

數(shù)學(xué)家在接下來的將近200年的時(shí)間里，都不能徹底反駁貝克萊的責(zé)難。直至后來的魏爾斯特拉斯創(chuàng)立“ε-δ”語(yǔ)言，才徹底反駁了貝克萊的責(zé)難，由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)才得以徹底解除。如今由極限理論，我們知道，無窮小反映的是函數(shù)的一種變化狀態(tài)，而非指一個(gè)數(shù)。

定義：如果函數(shù)f（x）當(dāng)x→x （或x→∞）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)f（x）為當(dāng)x→x （或x→∞）時(shí)的無窮小。

二、關(guān)于無窮小運(yùn)算的幾個(gè)主要結(jié)論[2]

定理1：有限個(gè)無窮小之和也是無窮小。

定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。

推論：有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小。

按照極限定義，這幾個(gè)結(jié)論很容易得到證明。但在理解這幾個(gè)結(jié)論的同時(shí)，一定會(huì)伴隨產(chǎn)生新的疑問。比如，將定理?xiàng)l件有限改為無限，那么結(jié)論還會(huì)成立嗎？也就是說無限個(gè)無窮小之和仍然是無窮小嗎，無限個(gè)無窮小的乘積仍然是無窮小嗎？下面我們通過命題的形式提出在學(xué)習(xí)無窮小過程中常見的幾個(gè)問題，并通過辨別命題真假的方式解決這些問題。

三、問題的提出與解決

命題1：無限個(gè)無窮小之和也是無窮小。

命題2：已知兩變量的乘積是無窮小，若其中一個(gè)為有界變量，則另一個(gè)變量必為無窮小。

命題3：已知兩變量的乘積是無窮小，若其中一個(gè)為無界變量，則另一個(gè)變量必有界。

命題4：無限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小。

首先指出，上述四個(gè)命題均是假命題，即命題所闡述均是錯(cuò)誤結(jié)論。下面，分別找一個(gè)反例說明之。

反例1： （ + +…+ ）= = .

此例說明無限個(gè)無窮小之和未必是無窮小。

反例2：設(shè)x = ，y =sinn，則顯然 x y = ·sinn=0，但是易知x = 有界，而y =sinn并不是無窮小。這說明命題2是一個(gè)假命題。

反例3：設(shè)x =[1-（-1） ] ，y =[1+（-1） ] ，{x }與{y }均是無界數(shù)列，但 x y = [1-（-1） ][1+（-1） ]n=0。此例表明命題3中的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

反例4：設(shè)f （x）=1，x∈[1，2） ，x∈[2，+∞），

f （x）=1，x∈[1，n）x ，x∈[n，n+1） ，x∈[n+1，+∞）（n>1），

則當(dāng)n≥1時(shí)， f （x）=0均成立，即f （x）（n≥1）為無限個(gè)x→+∞時(shí)的無窮小量，

令F（x）= f （x），x∈[1，+∞），

則當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，？坌n，f （x）=1，故F（x）= f （x）=1；

當(dāng)x∈[k，k+1）（k≥2）時(shí)，f （x）= ， nk

此時(shí)F（x）= f （x）= ·x =1.

綜上所述，？坌x∈[1，+∞），F(xiàn)（x）= f （x）≡1，故 F（x）= f （x）≡1.

此例說明無限個(gè)無窮小的乘積未必還是無窮小。

四、結(jié)語(yǔ)

初等數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象為“常量”，所以初等數(shù)學(xué)更多是在“有限”的領(lǐng)域里討論問題；而高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象為“變量”，更多是在“無限”的領(lǐng)域里討論，更多以“無限”為手段和工具進(jìn)行問題的討論，所以要用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，辯證思想以及極限理論去學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第七版上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2015.