高中數(shù)學(xué)課程要學(xué)會邊學(xué)邊悟

梅凱迪

摘 要：“讀史使人明智，讀詩使人靈秀，數(shù)學(xué)使人周密，科學(xué)使人深刻”，弗蘭西斯·培根的話從兒時起，就印在腦海里，而隨著年齡增長，我在人生的實踐中才逐漸有所感悟。數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，同時又是打開科學(xué)之門的金鑰匙，我們從小就開始接觸到它，它既培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想，又鍛煉思辨的能力。數(shù)學(xué)素養(yǎng)是21世紀每一位合格知識分子的基本素養(yǎng)，正是它讓我們有了走進科學(xué)的大門的方法論，可以對自然萬物仔細得推敲，從而了解規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，世界也因此有趣了許多。筆者雖系高中在讀學(xué)生，卻在多年數(shù)學(xué)學(xué)習中總結(jié)出了自身的經(jīng)驗，借本文與廣大讀者分享。

關(guān)鍵詞：高中教育；數(shù)學(xué)課程；邊學(xué)邊悟；思路及方法

1前言

材料科學(xué)中著名的屈服準則——屈雷斯加（Tresca）準則，是由法國工程師屈雷斯加于1864年提出。他指出，材料中的最大切應(yīng)力達到某一定值時，該物體就發(fā)生屈服，從原來的完全彈性變形產(chǎn)生塑性變形。這是材料科學(xué)中研究材料受力和變形的一個重要規(guī)律，是判別物體變形性質(zhì)的判別標準，其表達式為：

C即為材料能承受的最大切應(yīng)力。將這樣的應(yīng)力狀態(tài)畫在應(yīng)力空間中，會是一個什么樣的空間體呢？（說明：材料中，只有三個主應(yīng)力方向，σ1、σ2、σ3分別對應(yīng)空間坐標系X，Y，Z軸方向，以上問題即轉(zhuǎn)化成為：空間中的一個點集合，其中每個點的XYZ坐標中的任意兩個只差的絕對值不能超過2C，求此空間體的形狀是什么）。

2分析

根據(jù)上述對數(shù)學(xué)模型的描述可以得出，此空間體的邊界一定是由沿XYZ方向有相同增量的空間線圍成，即空間體對角線方向圍成的三維圖形。因此，可以轉(zhuǎn)化為先分析較為簡單的XY平面上圍成的圖形，進而推理三維空間中空間圖形。空間體與平面相交平面（略）。

解法1（立體幾何）：

同理∴與楞垂直的面截出的圖形為正六邊形，原三維體為正六棱柱。

解法2（解析幾何）：

建立空間直角坐標系圖（略）

兩種解法的分析比較：

立體幾何法，是我們高中常用的解決立體幾何的辦法，其對空間思維的考察較為明顯。解答本題的過程里，首先用的思想是轉(zhuǎn)換。將三維的屈服準則的數(shù)學(xué)表達式，直接轉(zhuǎn)換為三維空間是非常不能直觀想象出的，其涉及三個坐標之間的相互關(guān)系，三維圖就很難直接畫出，更不必說證明其形狀了。因此，先將本問題由三維轉(zhuǎn)換為二維考慮。考察XY平面內(nèi)的屈服準則所描述的圖形，下一步，再用題中給的關(guān)系，推斷只要三維體的XY坐標都沿著截面上的圖形同步增長，就不會有超越屈服條件的空間點。空間幾何體的解答，想象其實是解題中必不可少的部分，也是解答此類問題的樂趣所在。然而隨著數(shù)學(xué)知識的學(xué)習，其空間體復(fù)雜程度日漸增長，這時對于空間體的形狀要有著極為清晰的認識和嚴密的推理才可能得出正確的答案。生活中的事情也是如此，比如工業(yè)4.0中強調(diào)的個性化制作，和3D打印或者機械加工中的零件越來越復(fù)雜，建立三維模型的時候，即使有很先進的軟件，也需要有這種分步轉(zhuǎn)換的思想才可完成。21世紀，我們對世界的認知越來越全面，人創(chuàng)造出的系統(tǒng)物品也越來越復(fù)雜，對于這種級別的復(fù)雜程度，若想全憑腦子一步想象全局，那如癡人說夢，可能再也不能實現(xiàn)了。而面臨這樣的世界，最好的辦法可能就是一步步分解問題，轉(zhuǎn)化問題，從而有條不紊地解決它。

3空間幾何問題

空間幾何題，畫圖準確一定是第一位的。“好記性，不如爛筆頭”空間的線面關(guān)系的透視圖，一定要畫的真真切切，才為后面尋求解題思路鋪平道路。然而有時候，所見并非實際。

所見并非事實的事情，在生活中比比皆是。1964年的一天，凱蒂吉諾維斯在下班返回公寓的途中，遭到一個持刀男人的惡意襲擊。女孩大聲呼救，襲擊行為持續(xù)了35分鐘，直到最后有人報了警。然而警察趕到，女孩已經(jīng)停止了生命。此暴力悲劇事件共有38人目擊了這一慘劇，然而只有一人報案，令全體美國人感到震驚。在此事件的回訪中，許多沒有提供幫助的人，都認為這是情侶之間的吵架而沒有介入其中。這令人扼腕的悲劇，居然是大家相信了眼前所見的，而并沒有進行批判地、嚴密的分析其他的可能性釀成的。“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，中國的古圣先賢早就教導(dǎo)過我們，應(yīng)多角度地看待事物，才能識得廬山真面目，同時這也是在數(shù)學(xué)的見習中越發(fā)感受到的哲理。

4空間立體幾何與解析幾何法分析

空間立體幾何，和解析立體幾何的兩種方法，在此題上的應(yīng)用，可以明顯看出，立體幾何漂亮直觀有空間美感。而解析法，雖然抽象，但步步有點坐標，直線方程，在數(shù)學(xué)上顯得更加清晰明了。解法過程，空間法多數(shù)要靠著對立體幾何大量訓(xùn)練的“直覺”，去想象空間關(guān)系，巧作輔助線，輔助面。

然而解析幾何法，是流程化的操作，建立坐標系，確定點坐標，建立直線、面的表達式，其角度關(guān)系，距離關(guān)系，都可以用公式求出。看似不明顯直觀，但其蘊含在方程中的是精確的數(shù)學(xué)表達，最大的優(yōu)勢就是可解性，和可操作性。

解析幾何方法雖然對于簡單的幾何問題，可能沒有空間幾何法簡單，因為必不可少地要經(jīng)歷建立坐標系，求出方程表達式之類的過程。然而其流程化操作，確是當今計算機求解問題最擅長的部分。計算機并不怕麻煩，小時候的機器人編程大賽，整體看起來非常復(fù)雜的程序，可是完成命令的準確程度也大大令人滿意，幸運的是，計算機的優(yōu)勢恰恰在于計算，所以麻煩一點對它并不是難事。

同時，此種方法對于我們高考解題，也不無借鑒意義。因為，高考是在限定的時間內(nèi)要求高正確率的解題任務(wù)。對此，戰(zhàn)術(shù)戰(zhàn)略的考慮，就顯得尤為重要。對于簡單的問題，立體幾何法容易解答的，應(yīng)用其作答，可以為其他的題目爭取到寶貴的思考時間。

5結(jié)論及建議

綜上所述，“君子不器”，學(xué)好數(shù)學(xué)不僅是為了應(yīng)付高考，或是為將來進一步學(xué)習相關(guān)專業(yè)打好基礎(chǔ)，更重要的目的是接受數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)精神的熏陶，提高自身的思維品質(zhì)和科學(xué)素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)對知識的難度、深度、廣度要求更高，我們應(yīng)當勤于思考，善于質(zhì)疑，掌握數(shù)學(xué)思想方法，善于歸納總結(jié)規(guī)律，在思維的靈活性、可延伸性、創(chuàng)造性方面高標準要求自己。作為天之驕子的我們一定要志存高遠，知難而進，活學(xué)活用，邊疑邊悟，果能如此，將終生受益。

（作者單位：鄭州外國語學(xué)校高三19班）