基于Matlab的理想斗篷設計

武金燕

【摘要】電磁或者光學隱身可以通過給物體涂上透明漸變折射率材料，使光線沿著被隱藏物體偏折來實現。這種結構可以使各個方向入射來的光線偏折，通過使結構中心對稱來實現。在透明外殼以內，有一個非透明物體，只要斗篷設定完美來阻止任何光線達到非透明物體上，其自由空間散射特性將是無關緊要的。這種基于全方位的隱身斗篷概念由Sir John Pendry （Imperial College， UK）和他的實驗室于2006年提出。這里模擬的隱身斗篷是一個同心球殼，內部表面代表隱藏物體。全方位斗篷要求各向異性的材料屬性，這個可以由變換光學理論計算得到。盡管光線和光束偏折可以由各向同性的折射率的梯度來實現，對于全方位隱身單獨的折射率梯度變化是不夠的。這可以由唯一性定理應用到各向同性材料物體散射問題的方法來證明。通過選擇適當的折射率分布，我們能保證任何入射在斗篷上的光束不會到達內部表面，因而永遠探測不到物體。在斗篷設計中，輻射方向上的折射率是不連續的。相應的內表面折射率不連續不會導致反射，因為只有折射率的切線分量影響反射率。

此模型描述光學粒子追蹤來求解光學的大折射率梯度各向異性屬性結構。此外，本模型介紹一種曲線平滑技術來處理曲面上的折射率階躍，這對于像透鏡一樣的光學設備是典型的。

【關鍵詞】光學隱身；透明漸變折射率；光學粒子追蹤

一、模型定義

粒子追蹤模塊中沒有明確的支持來模擬幾何光學，但是通過一個將哈密頓方程與零波長限制射線方程的類比，允許我們來求解該問題。這個類比如下：

（一）波矢，k（SI unit： 1/m）在幾何光學方程中與在經典力學中的粒子動量p扮演著同樣的角色。

（二）角頻率，w（SI unit： 1/s）與哈密頓量H扮演同樣角色。

對于經典粒子，哈密頓方程如下：

（1）

使用上面的類比：

（2）

（三）粒子的質量應該設置為1。

對于幾何光學，角頻率由下式給出：

（3）

其中n是材料的折射率，真空下，折射率為1。在斗篷中，折射率是各向異性的，使用球坐標來表達波矢更加方便：

（4）

角頻率相應的變為：

二、建模指令

（一）模型向導： 模型向導點擊下一步，增加物理場中，選擇數學-數學粒子追蹤（pt），求解中，選擇預制求解-瞬態

（二）全局定義 ：定義參數來指定空氣框和斗篷的維度

（三）幾何建立：對長方體1、球1、球2的建立

（四）定義

現在增加一些表達式來表述斗篷區域從笛卡爾坐標系變換到球坐標系的折射率。波矢也要做相應的變換。

（五）求解1

為了準確計算粒子在各向異性介質中的軌跡；缺省的求解器容差需要嚴格控制。通過顯示缺省的求解器來減小相對容差和絕對容差

（六）結果

通過增加斗篷內部和外部面選擇的繪圖，射線路徑可以更好的呈現

通過在相空間中的繪圖你可以觀察通過斗篷前后的光束，來研究斗篷的隱身效果。這個可以同兩種方法實現，第一種是定義一直剖面圖（a Poincaré surface），然后繪制粒子通過斗篷前后的 Poincaré 圖

第二種方法是構建粒子的相圖來驗證粒子的位置和速度在通過斗篷前后是一致的。

三、結果與討論

光線的軌跡由圖3-1繪出。光線到達斗篷并且在內部球周圍偏折，對于觀察者來說，內部球變得不可見。

更好的一種確定入射光束是否返回到了其初始軌跡是使用Poincaré圖或者相圖。圖3-2顯示了初始時間步（紅點）和最終時間步（藍點）的yz平面的Poincaré圖。圖像顯示了x軸上粒子的y坐標值，以及y軸上粒子的z坐標值。這是由于Poincaré截面定義在yz平面。通過斗篷后粒子位置基本上恰好與初始的一樣。接近x=0處時由于一些小的數值誤差，結果有些偏差。

圖3-3顯示斗篷前光線（紅點）和斗篷后光線（藍點）在相空間中是（幾乎）完全同一的。因此，初始光線的位置和速度在傳播過斗篷后被重建，在代碼的數學限制范圍之內。

參考文獻

[1] J. Pendry， D. Schurig， and D.R. Smith， “Controlling Electromagnetic Fields，” Science， vol. 312， p. 1780， 2006.

[2] A.I. Nachman， “Reconstruction from Boundary Measurements，” Ann. Math.， vol. 128， p. 531， 1988.

[3] C.A. Balanis， Advanced Engineering Electromagnetics， Wiley， 1989.

[4] 2. B.E.A. Saleh and M.C. Teich， Fundamentals of Photonics， Wiley， 1991