關于初等行變換在線性代數中的應用

李華燦 李群芳 李師煜

摘要：初等行變換是線性代數的核心應用工具。文中從行列式的計算、求向量組線性相關性以及求解線性方程組等三個方面來淺談初等行變換的應用。

關鍵詞：初等行變換;行列式;線性相關;消元法

線性代數[1]是大學數學的一個重要組成部分，其主要目的是為了解線性方程，所用的工具有行列式、矩陣、向量，其中最重要的方法是利用初等行變換。本文將對初等行變換的應用總結如下：

一、在行列式中利用初等行變換將行列式化為上三角行列式

行列式，又稱n階行列式，由n行n列個元素組成，其值等于所有不同行不同列元素乘積的代數和。在行列式的計算中，常利用行列式的性質特別是行列式的初等行變換將行列式轉化為上三角或下三角行列式，從而得出行列式的值。

例1 僅利用初等行變換計算下列行列式。

二、在求向量組線性相關性判別中的應用

求一個向量組的最大無關組[2，3]的方法由多種，如利用定義法：設詞向量組的一個線性組合為零向量，證明是否存在非零的系數;利用行列式，若此向量組是由n個n維向量組成的向量組，可以由這n個n維向量構成一個行列式n階行列式D，若D不等0，則此向量組線性無關;還可以利用矩陣的初等行變換，其步驟為將向量組中的向量作為矩陣A的列向量，然后對矩陣進行初等行變換，將此矩陣化為行階梯形矩陣，若行階梯形矩陣中非零行的行數和向量的個數相同，則此向量組線性無關，反之線性相關，進一步地可由此確定向量組的最大無關組。

三、在求線性方程組的通解中的應用

線性方程組[4，5]的求解是線性代數中重要的知識點，毫不客氣地說，線性代數就是為解線性方程組而產生的學科。其求解方法主要含以下幾種：（1）利用克萊姆法則。若方程組的系數行列式D不等于0，則方程組的解唯一，且有，其中是用常數項替代系數行列式的第列得到的行列式;若方程組的系數行列式D等于0，則此時不能用克萊姆法則來解。（2）利用消元法。其方法將方程組中的未知數逐步消元，從而得到方程組的解。（3）利用初等行變換。其方法是利用初等行變換將方程組的增廣矩陣化為行最簡形，從而得到方程組的同解方程組，由此得到方程組的通解。

參考文獻

[1]范麗君，吳闊華. 關于普通工科院校數學與應用數學專業建設的幾點思考[J]. 江西理工大學學報， 2007（5）.

[2]孟靖華. 兩個群可逆矩陣線性組合的群逆[J].?蘭州文理學院學報（自然科學版）， 2014（01）.

[3]任馳遠，田欣.??探討可逆矩陣教學設計的思路[J].?課程教育研究.?2017（04）.

[4]吳世玕，杜紅霞.?線性方程組Ax=b的反問題[J]. 江西理工大學學報.?2006（01）.

[5]吳世玕，杜紅霞.??關于線性方程組的一個注記[J].?江西理工大學學報.?2007（01）.