基于Sarmanov相依分布的破產(chǎn)概率研究

文麗壹，郭曉莉

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶　400054)

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基于Sarmanov相依分布的破產(chǎn)概率研究

文麗壹，郭曉莉

(重慶理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054)

摘要：考慮帶有保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)和金融風(fēng)險(xiǎn)的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型，假設(shè)保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)和金融風(fēng)險(xiǎn)都屬于強(qiáng)正則變化族并且服從Sarmanov相依分布，得到了一些有限和無限時(shí)間的精確的破產(chǎn)概率漸近表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：Sarmanov相依；保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)；金融風(fēng)險(xiǎn)；破產(chǎn)概率

保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)在隨機(jī)經(jīng)濟(jì)環(huán)境中將會(huì)導(dǎo)致兩種風(fēng)險(xiǎn)[1]，我們稱其為保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)和金融風(fēng)險(xiǎn)。其中：保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)是傳統(tǒng)保險(xiǎn)索賠引起的責(zé)任險(xiǎn)；金融風(fēng)險(xiǎn)是保險(xiǎn)公司的資產(chǎn)在金融市場(chǎng)上作風(fēng)險(xiǎn)投資引起的投資風(fēng)險(xiǎn)[2]。在隨機(jī)經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，根據(jù)保險(xiǎn)實(shí)務(wù)和金融市場(chǎng)規(guī)律，本研究作如下假設(shè)：① 保險(xiǎn)公司每個(gè)周期i的保費(fèi)收入為Ci，支出為Ai,Ci和Ai為隨機(jī)變量且Ci>0,Ai>0；② 隨機(jī)通脹因子或隨機(jī)累積因子為Bj=1+rj；③ 保險(xiǎn)公司的初始資本為x，保險(xiǎn)公司在有限時(shí)間n的財(cái)富為Un。綜上可得：

(1)

注記1如果設(shè)保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)投資比例系數(shù)為p,p∈[0,1],Wi表示投資組合的價(jià)值，于是Wi=(1-p)Wi-1(1+r)+pWi-1(1+ri),則隨機(jī)通脹因子Bj=Wi/Wi-1=(1-p)(1+r)+P(1+ri),從而對(duì)應(yīng)的金融風(fēng)險(xiǎn)Yj=1/[(1-p)(1+r)+p(1+ri)]。

(2)

(3)

與有限時(shí)間相對(duì)應(yīng)的無限時(shí)間n→∞的破產(chǎn)概率可表示為

(4)

或

(5)

本文結(jié)合文獻(xiàn)[10-11]的研究成果，研究保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)與金融風(fēng)險(xiǎn)都屬于強(qiáng)正則變化族并且滿足Sarmanov相依分布的情形，得到了一些有限時(shí)間和無限時(shí)間的精確破產(chǎn)概率漸近表達(dá)式，推廣了文獻(xiàn)[11]的結(jié)果。

1準(zhǔn)備工作

首先，考慮保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的分布族以及相依分布關(guān)系。

定義4[10]Sarmanov相依分布。假設(shè)隨機(jī)對(duì)(X,Y)服從二元Sarmanov分布，則:

(6)

其中:θ為實(shí)常數(shù)；核函數(shù)φ(x),φ(y)滿足Eφ(x)=Eφ(y)=0，且1+θφ(x)φ(y)≥0在定義范圍內(nèi)成立。DX={p(X∈(x-δ,x+δ))>0,x∈R}，DY={p(Y∈(x-δ,x+δ))>0,y≥0}，且DX,DY有界。顯然，如果θ=0或 φ(x)=0或φ(y)=0,則X與Y是相互獨(dú)立的。現(xiàn)在考慮的是θ≠0和核函數(shù)φ(x),φ(y)≠0的情形。 由文獻(xiàn)[10]知φ(x),φ(y)有以下3種選擇：

1) φ(x)=1-2F(x),φ(y)=1-2G(y)。此時(shí)的二元Sarmanov相依分布為標(biāo)準(zhǔn)的二元Farlie-Gumbel-Morgenstern相依分布。

2)φ(x)=(exp(-x)-c)Ⅱ{x≥0},其中c=Eexp(-X)Ⅱ{x≥0}/p(X≥0),φ(y)=exp(-y)-Eexp(-Y)。

3)φ(x)=xp-EXp，φ(y)=yp-EYp。

2主要結(jié)論及其證明

定理1設(shè){(X,Y),(X1,Y1),…,(Xn,Yn)}是獨(dú)立同分布隨機(jī)對(duì)序列，且隨機(jī)對(duì)(X,Y)服從二元Sarmanov分布。如果(X,Y)滿足上述假設(shè)條件，則：

(7)

(8)

在證明定理之前需要介紹幾個(gè)引理，這幾個(gè)引理在證明過程中起著至關(guān)重要的作用。有關(guān)這些引理的證明可以參考文獻(xiàn)[10-11]。

引理1設(shè)分布F1,…,Fn在R上，如果對(duì)每一個(gè)p∈Δ，有Fp∈S(α),α≥0，則

(9)

(10)

引理2是Breiman’s定理[4]的一種變形。

以下證明定理1成立。

(11)

又由核函數(shù)有界知limφ(x)=d1, limφ(y)=d2存在,因此：

于是根據(jù)引理2和式(11)可得

(12)

定義Mn的等價(jià)分布為(Xn+Mn-1)+Yn,n∈N,接著用歸納法證明定理1成立。

(13)

注記3若在Sarmanov分布中，核函數(shù)φ(x)=1-2F(x),φ(y)=1-2G(y),此時(shí)|φ(x)|= |φ(y)|=b1=b2=1,limφ(x)=limφ(y)=d1=d2=-1,則：

(14)

(15)

即文獻(xiàn)[11]中對(duì)應(yīng)的注記2.1(a)。

定理2在定理1成立的前提下，如果EYα<1，則n→∞，有

(16)

(17)

應(yīng)用引理3可知定理2成立。

定理3在定理1成立的前提下，如果EYα<1且Eln(X-∨1)<∞，則n→∞，有

(18)

證明方法與定理2類似，主要是證明Pr(S∞>x)的漸近上界。

注記4在定理2和3中，若φ(x)=1-2F(x),φ(y)=1-2G(y),則定理2和3即為文獻(xiàn)[11]中對(duì)應(yīng)的注記2.1(b),(c)。

下面是推得的破產(chǎn)概率的另一種漸近表達(dá)式。

定理4設(shè){(X,Y),(X1,Y1),…,(Xn,Yn)}是獨(dú)立同分布隨機(jī)對(duì)序列，且隨機(jī)對(duì)(X,Y)服從二元Sarmanov 相依分布，如果EYα+ε<∞,ε>0，則

(19)

證明由Breiman’s定理[4]可得

再根據(jù)文獻(xiàn)[10]定理4.1即可得證。顯然，定理4的精確度要低于定理1。

注記5在定理4成立的前提下，如果EYα+ε<1,ε>0，則

(20)

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(責(zé)任編輯何杰玲)

The Probability of Ruin Following the Sarmanov Dependence Distribution

WEN Li-yi，GUO Xiao-li

(School of Mathematics and Statistics, Chongqing University of Technology，Chongqing 400054, China)

Abstract:Considering a discrete time insurance risk model with insurance and financial risks, we assumed that both the distributions of insurance and financial risk belong to the strongly regular variation and follow the Sarmanov dependence structure, we derived some precise asymptotic formulas for these probabilities with both finite and infinite time horizons.

Key words：Sarmanov dependence; insurance risk; financial risk; ruin probability

文章編號(hào)：1674-8425(2016)04-0147-07

中圖分類號(hào)：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.04.025

作者簡(jiǎn)介：文麗壹(1989—),男,重慶武隆人,碩士研究生,主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(14BJY200)

收稿日期：2015-10-16

引用格式：文麗壹，郭曉莉.基于Sarmanov相依分布的破產(chǎn)概率研究[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(4):147-153.

Citation format：WEN Li-yi，GUO Xiao-li.The Probability of Ruin Following the Sarmanov Dependence Distribution [J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(4):147-153.