從數學教育的角度比較分析《九章算術》與《幾何原本》

杜存芳

摘 要：眾所周知，《九章算術》和《幾何原本》是現代數學思想的兩大源泉，雖然它們都是古代數學名著，但是在風格上卻存在較大的差異性。《九章算術》是中國古代第一部數學專著，而《幾何原本》則是古希臘數學家歐幾里得的一部數學著作。本文基于數學教育視野，對這兩本書進行了對比分析，通過各方面的了解和剖析，結合當代我國數學教育現狀，得到教育改革的啟示。

關鍵詞：數學教育 《九章算術》 《幾何原本》 比較

《九章算術》是“算經十書”中最重要的一種，該書內容非常豐富，且系統化總結并概括了戰國、秦朝，以及漢時期的數學成就。此外，該書在數學領域也取得了杰出的成就，首次提出分數、負數及加減運算法則等。概括來說，《九章算術》是一本綜合性的數學歷史著作，該書的出現標志著中國古代數學體系的基本形成。《幾何原本》在數學界又被稱為《原本》，該書為歐洲數學的發展奠定了良好的基礎，且被廣泛認為是歷史上最成功的教科書，書中主要總結并歸納了平面幾何的五大公設。除此之外，《幾何原本》在西方也占據著相當重要的位置，僅次于《圣經》。這兩本著名的數學著作對數學的發展都發揮著非常重要的作用，但是二者還存在諸多差異。本文對這兩本書從成書背景、體例、內容等方面進行研究后，得出二者的差異所在。在此基礎上，對其數學教育觀、數學教育目的、數學教材及數學文化也進行了詳細論述，基于現代數學視野，對現代數學教育改革提供啟示，以供參考。

一、成書背景的對比

《九章算術》是中國古代的數學專著，也是“算經十書”中最重要的一種。眾所周知，我國春秋戰國時期，諸子百家爭鳴，眾多學派相繼出現，在形式邏輯研究方面，相比其他學派而言，墨家比較突出，但之后形式邏輯在我國并沒有太大的進展，而《九章算術》恰巧問世。該書成書最遲是在東漢前期，但內容的定型卻在西漢后期，這時候出現，就注定其呈現出非邏輯結構的特點。中國古代數學專著都是在不斷總結生活現象的過程中逐漸衍生而來的，《九章算術》也不例外，該書主要強調的是數學知識的應用，在不斷地總結、歸納、推理、論證的過程中，最終發展成演繹推理。

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個人創造于一體的不朽之作，整本書的內容是把人們公認的一些事實歸納成定義和公理，將形式邏輯的方法運用于教學研究。通過這些定義和公理對幾何圖形的性質進行探討，最終建立起一套數學理論體系，簡稱幾何學。該書的成書與《九章算術》有著不同的背景，當時古希臘正處于形式邏輯的發展時期，形式邏輯的思想方法被運用到了數學及其應用領域中，逐漸形成了強大的數學思潮，之后歐幾里得不斷研究和探索，將其用演繹法進行歸類和整理，編寫成《幾何原本》一書。這本書也是歐式幾何的奠基之作。此書主要囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及，一直到公元前4世紀——歐幾里得生活時期——前后四百多年的數學發展歷史。從內容上分析，該書保存了古希臘早期的幾何學理論，之后歐幾里得對其進行了系統化的整理，使其成為現代數學發展的思想源泉。總體來說，《幾何原本》開創了古典數論的研究，創立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數學演繹體系的最早典范。

二、《九章算術》與《幾何原本》在體例方面的對比

研究這兩本書發現，其在體例方面存在一定的差異性，表現在：《九章算術》是按照問題的性質和解法具體分類的，總共九類，且每一類為一章節，每一章節又分多個小類，每一小類都有解題步驟，包括數學公式、推理等。這種結構體系，是以算法為中心，根據算法組建理論體系，表現出了中國特有的數學思想。《幾何原本》在結構方面與《九章算術》存在較大的差異性，該書共十三篇，主要包含兩大部分。第一部分中，有4條作圖公法，36條定義，19條公設和公理，為全書的推理基礎。第二部分主要是題，其中每一道題都相當于一條定理，后面附注證明過程和推論過程，還有少部分題后面有圖解。總之，《幾何原本》主要是將邏輯推理進行系統化歸納，形成數學體系中的邏輯演繹系統。

三、《九章算術》和《幾何原本》的內容對比

從內容方面對比發現，《九章算術》和《幾何原本》也存在較大的差異性。其中《九章算術》的內容呈現出豐富性和多樣性特征。它主要是對從春秋至秦漢時代社會生產過程中各方面累積的教學知識的匯總。整本書包含246題，涉及生活的各個領域，故被稱為“數學百科全書”。此外，該書中的代數水平和算術水平相當高，但在幾何圖形方面，卻與《幾何原本》存在較大的差距。《幾何原本》是代數幾何化，且數論問題都是通過嚴格的邏輯證明來具體解決的，它為幾何學的發展奠定了理論基礎。《幾何原本》的誕生，標志著幾何學已經成為一個有著比較嚴密的理論體系和科學方法的數學學科。除此之外，《幾何原本》還對勾股定理做了詳細證明。由此可見，這兩本數學名著各有優勢。

四、《九章算術》和《幾何原本》對當代數學教育改革的啟示

關于《九章算術》和《幾何原本》對當代數學教學改革和發展的啟示，需從數學教育觀、數學教育目的、數學教材、數學文化幾大方面來了解。

1.數學教育觀

數學教育觀主要包含兩大類，一類是動態數學教育觀，認為數學是一項人類活動，也是一個動態學科，活動之間存在著一定的關聯性，內部要素之間也呈現出動態發展趨勢；另一類是靜態數學教育觀，認為數學是一個永恒不變的學科，其內容主要包含數學定理、公式。《九章算術》表現出動態教育觀，主要是由于其豐富的內容都是在不斷總結和積累后得到的。《幾何原本》表現出靜態教育觀，認為教學活動是一種程序化過程，即數學概念-定理-公式-例題-練習，整個過程中，學生占被動地位，一味地接受教師的灌輸。相對來說，這種教育觀比較死板。由此可見，為了促進現代數學教育的發展，要主張學生理論與實踐相結合，從理論中解釋實踐，從實踐中總結理論，打破傳統的教學模式，實施并創新情境化教學模式。

2.數學教育目的

《九章算術》強調數學與實際生活之間的聯系，體現出數學學習的實用性特征，通過學習能夠促使學生將理論與實踐相結合。而《幾何原本》強調學生要關注內部的邏輯結構，體現出數學學習的抽象性和嚴密性特征，該書在一定程度上忽視了數學的應用意識和對學生數學綜合能力的培養。其實這兩本書都有自己的優越性和局限性，我們在研究現代數學學科時，應將二者相結合，取長補短，從而達到提升數學教育的目的。

3.數學教材

從上文中了解到，《九章算術》是一部數學百科全書，自隋唐時數學教育制度建立以來，該書已經成為國家統一審定的數學課程之一，且逐步形成了以該書為中心的古代數學課程體系。而《幾何原本》則過度強調形式化的數學教學，忽視了與實際相結合。這兩本書在教材上都有一定的優越性和局限性，我們要認真分析，相互借鑒，為推動現代化數學學科的改革和發展不斷努力。

4.數學文化

《九章算術》和《幾何原本》存在諸多方面的差異，其根本原因在于中西方文化之間存在一定的差異性，從而形成了不同的數學思想方法體系。所以，在進行現代化數學學科改革時，要對這兩本書的數學文化多加重視，教師在教學過程中應該多引導學生去了解和領悟數學本身所蘊含的文化內容。在此基礎上，結合數學內容，逐步滲透思想方法、意識精神等，讓學生真正體會到數學學科中蘊含的各種魅力。

五、結語

綜上，數學是一門研究數量、結構、空間、變化及信息等概念的綜合學科，也屬于一種形式科學。為了促進數學學科的改革和發展，通過上文對《九章算術》和《幾何原本》的比較得到的啟示是：要引導學生理論聯系實際，通過實踐進行總結、歸納，了解數學的本質，從而達到提高數學素養的目的。筆者希望更多有關人士參與到《九章算術》和《幾何原本》的比較研究中來，為推動現代化數學學科的改革做出更大的貢獻。

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