一類Wick型隨機混合KdV方程的精確解

舒 級, 曾群香

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

一類Wick型隨機混合KdV方程的精確解

舒 級, 曾群香

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

首先運用Hermite變換將Wick型隨機KdV方程轉換為確定性KdV方程,然后利用截斷展開法得到方程的白噪聲泛函解.

白噪聲泛函解; Wick型隨機混合KdV方程; 截斷展開法; Hermite變換

1 預備知識

J. S. Russell[1]在“論波動”為題所做的報告中談到:“沿著狹窄的河道迅速前進著,突然停下來了,河道內被船體帶動的水團并不停止,它們積聚在船頭周圍劇烈的擾動著,然后形成了一個滾圓而又平滑、輪廊分明的巨大孤立波峰”,他把此種水波稱為孤立波.荷蘭著名數學家D. J. Korteweg等[2]建立了淺水波運動方程,其一般形式可寫為

ut±6uux+uxxx=0,

稱為Korteweg-deVries(KdV)方程,隨后利用行波變換求出了與J.S.Russell所發現的孤立波現象一致的、具有形狀不變的脈沖狀孤立波解.此種解與C.S.Gardner等[3]利用反散射方法求出KdV的孤子解一致.美國應用數學家N.J.Zabusky等[4]數值模擬了孤立波相撞過程,得到了孤立波在碰撞后仍然保持其波形和速度不變或者只有微弱變化的性質.這種性質與物理中粒子的性質類似,因此把此種孤立波稱為孤立子.此后科學家對孤立子的研究興趣和熱情便一發不可收拾.迄今為止,在許多科學領域都發現了孤立子運動形態,如神經細胞軸突上傳導的沖動、流體中的漩渦、晶體的錯位、木星上的紅斑、等離子體中的聲波和電磁波、激光在介質中的自聚焦等.在數學上,孤立子理論[5]的進展體現在發現了一大批具有孤立子解的非線性偏微分方程,并且逐漸形成了較為系統的數學物理的偏微分方程與孤子理論.

隨機偏微分方程類似于一般的隨機微分方程,其本質上是帶有隨機項和隨機系數的偏微分方程.隨機微分方程在量子場論、統計力學、金融數學中有著廣泛的應用.更有意思的是,由于加入了隨機項,因此求出的精確解并不是通常意義下的精確解[6-15],而是帶有白噪聲的泛函解,也就是帶隨機項的解.

M.Waditi[16]通過反散射方法求出了非線性隨機KdV方程的精確解,進而提出帶隨機擾動項的理論基礎.H.Holden等[17]把白噪聲分析法引進方程,提出了Wick型隨機偏微分方程.由于在實際問題中,帶隨機擾動的方程更有意義,因此越來越多的學者開始研究隨機偏微分方程.B.Chen等[18]研究了隨機mKP方程,H.Kim等[19]研究了變系數的廣義隨機Boussinesq方程組及隨機KP方程.

本文將運用Hermite變換和截斷展開法研究如下Wick-型隨機混合KdV方程

Ut(t,x)+A0(t)◇Ux(t,x)+

A1(t)◇U(t,x)◇Ux(t,x)+

A2(t)◇U◇2(t,x)◇Ux(t,x)+

B(t)◇Uxxx(t,x)=0,

(1)

其中,◇是Kondratiev分布空間(S)-1上的Wick乘積,A0(t)、A1(t)、A2(t)和B(t)是定義在(S)-1上的白噪聲泛函,且A0(t),A1(t),A2(t)和B(t)≠0.

2 求解Wick型隨機偏微分方程的基本思路

對于隨機偏微分方程

P(t,x,?t,x,U,ω)=0,

(2)

設方程(2)的Wick積具有如下形式

P◇(t,x,?t,x,U,ω)=0.

(3)

然后,通過Hermite變換將方程(3)的Wick積變為普通乘積

(4)

z=(z1,z2,…)∈Kq(R),

Kq(R)={z=(z1,z2,…)∈CN,

成立,則在一定條件之下,通過Hermite變換的逆變換,就能得出方程(3)的一個解U,這一過程可以通過下述定理來實現.

定理 2.1 假定u(t,x,z)為方程(4)的一個解,其中(t,x)為某個G?R×Rd的有界開集元素,對于某些q和R有z∈Kq(R)成立.此外,假定u(t,x,z)以及方程中所有u(t,x,z)的偏導對于(t,x,z)∈G×Kq(R)是有界的,對z∈Kq(R)關于(t,x)∈G是連續的,對(t,x)∈G關于z∈Kq(R)是解析的.由文獻[20]知,則存在U(t,x)∈(S)-1對所有的(t,x,z)∈G×Kq(R)使得

從而可以在(S)-1中用U(t,x)解方程(3)(在(S)-1中是強指向的).

3 截斷展開法

截斷展開法主要用來求解類孤子解,其基本步驟如下.

1) 為了得到非線性偏微分方程

P(t,x,u,ut,ux,uxt,uxx,utt,…)=0

(5)

的類孤子解,假定方程(5)的解的形式可表示成如下的截斷展開形式

(6)

其中,An(t)(0≤n≤N)、f(t)和g(t)是一些待定函數;

2) 根據領頭項分析,確定N的取值;

3) 求出ut、ux、uxxx,并將它們代入原方程,得到關于F的線性方程組.由于Fi(i=0,1,2,3,4)線性無關,令其前面的系數為零,得到非線性微分方程組,解方程組可以求出A0、A1、f(t)和g(t).

證明 因為有

(7)

所以上述性質成立.

4 截斷展開法在求解Wick型隨機混合KdV方程中的應用

對于Wick型隨機混合KdV方程(1),通過Hermite變換可將方程中的Wick乘積化為普通乘積

Ut(t,x,z)+A0(t,z)Ux(t,x,z)+

A1(t,z)U(t,x,z)Ux(t,x,z)+

A2(t,z)U2(t,x,z)Ux(t,x,z)+

B(t,z)Uxxx(t,x,z)=0.

(8)

為了簡便,記

Ut(t,x,z)=ut(t,x,z),A0(t,z)=α0(t,z),

Ux(t,x,z)=ux(t,x,z),A1(t,z)=α1(t,z),

U(t,x,z)=u(t,x,z),A2(t,z)=α2(t,z),

B(t,z)=β(t,z),Uxxx(t,x,z)=uxxx(t,x,z),

則方程(8)記為

ut(t,x,z)+α0(t,z)ux(t,x,z)+

α1(t,z)u(t,x,z)ux(t,x,z)+

α2(t,z)u2(t,x,z)ux(t,x,z)+

β(t,z)uxxx(t,x,z)=0.

(9)

對方程(9)進行領頭項分析可知N=1,因此方程具有如下行波解

u(x,t,z)=A0(t,z)+A1(t,z)F,

(10)

其中

A0(t,z)和A1(t,z)待定.

根據(10)式可得:

ut(x,t,z)=A0t(x,t,z)+A1t(t,x,z)F+

A1(t,x,z)(F2-F)ξt,

(11)

ux(x,t,z)=A1(t,z)(F2-F)ξx,

(12)

uxxx(x,t,z)=

(13)

將(11)～(13)式代入方程(9),比較F前各個冪項前的系數得到:

F0:A0t=0,

(14)

F1:A1t-A1tξt-α0A1ξx-α1A0A1ξx-

(15)

(16)

(17)

(18)

從(14)、(15)和(18)式可求出:

A0(t,z)=C1(z),

(19)

A1(t,z)=C2(z),

(20)

其中,C1(z)和C2(z)是關于z的白噪聲泛函.由(16)式得到

(21)

ft,z=0,

(22)

gt,z=-α0ξx-α1A0ξx-

(23)

解(22)和(23)式得到:

f(t,z)=C3(z),

(24)

g(t,z)=C4(z)t,

(25)

其中,C3(z)和C4(z)為白噪聲泛函.將(24)和(25)式代入方程(22)和(23),經計算后發現自動成立,說明該設定的截斷展開是自恰的,并考慮到關系

(26)

將(19)、(20)、(24)和(25)式代入(10)式,得到混合KdV方程的類孤子解

(27)

其中C5(z)和C6(z)為白噪聲泛函,

ξ=C3(z)x+C4(z)t.

對精確解進行模擬,得到隨機混合KdV方程的雙曲正切函數,通過代入法驗證了(27)式是方程(9)的解.

為了得到方程(1)的隨機精確解,需要給出如下條件.

假設(x,t)為屬于一個有界開集G?R+×R的元素,對于某些q>0,r>0的所有z∈Kq(r),使得A0(t,x)、A1(t,x)、A2(t,x)和B(t,x)滿足u(t,x,z)在方程(1)中所有的偏導對(t,x,z)∈G×Kq(r)一致有界,并且對所有的z∈Kq(r)關于(t,x)∈G是連續的,對所有(t,x)∈G關于z∈Kq(r)是解析的.

由此條件以及定理2.1可知:存在U(t,x)∈(S)-1,使得對于所有的(t,x,z)∈G×Kq(r)有

令U(t,x)是u(t,x,z)的Hermite逆變換,則由方程(9)的解(27)式可得到方程(1)的白噪聲泛函解

(28)

其中

ξ=C3(z)◇x+C4(z)◇t.

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2010 MSC：35Q55

(編輯 李德華)

收稿日期:2016-08-15

基金項目：四川省教育廳重點科研項目(14ZB0065)基金和四川省科技廳基金項目(K33)

*通信作者簡介：莫智文(1962—),男,教授,主要從事人工智能、模糊語言、粗糙集和量子信息處理的研究,E-mail:mozhiwen@263.net

Exact Solutions for a Class of Wick-type Mixed Stochastic KdV Equations

SHU Ji, ZENG Qunxiang

(College of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610066, Sichuan)

First we converse the Wick-type stochastic KdV equation to a determining KdV equation with Hermite transformation, then obtain white noise functional solutions of the KdV equation by the truncation expansion method.

white noise functional solutions; Wick-type mixing stochastic KdV equation; truncation expansion method; Hermite transformation

2015-06-04

國家自然科學基金(11371267)、四川省教育廳重點科研基金(14ZA0031)和四川省科技廳應用基礎計劃(2016JY0204)

舒 級(1976—),男,副教授,主要從事偏微分方程的研究,E-mail:shuji2008@hotmail.com

O175.29

A

1001-8395(2016)06-0821-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2016.06.007