齒厚與螺旋角對人字齒行星輪動態(tài)特性的影響

吳文敏，荀　超，龍新華（.中國直升機設(shè)計研究所，江西景德鎮(zhèn)333000；.上海交通大學(xué)機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海0040）

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齒厚與螺旋角對人字齒行星輪動態(tài)特性的影響

吳文敏1，荀超2，龍新華2
（1.中國直升機設(shè)計研究所，江西景德鎮(zhèn)333000；2.上海交通大學(xué)機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海200240）

摘要：利用多尺度法分析人字齒行星輪輪齒厚度和螺旋角對人字齒行星輪系統(tǒng)動態(tài)特性影響。建立人字齒行星輪的動力學(xué)模型，該模型考慮時變嚙合剛度、脫齒等非線性因素。利用該模型，分析齒厚與螺旋角對人字齒行星輪動態(tài)響應(yīng)影響，多尺度法與數(shù)值模擬的計算結(jié)果一致。結(jié)果表明，齒厚與螺旋角對時變嚙合剛度各階波動幅值有著周期性影響，選取適當(dāng)?shù)凝X厚與螺旋角可明顯降低系統(tǒng)各自由度振動幅值和動態(tài)傳遞誤差。

關(guān)鍵詞：振動與波；螺旋角；齒厚；人字齒行星輪；動態(tài)特性；動態(tài)傳遞誤差；多尺度法

行星齒輪因其承載能力強、傳動比大、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點，廣泛地應(yīng)用于機械傳動領(lǐng)域。在船舶、飛機發(fā)動機等重載和傳遞精度要求較高的領(lǐng)域，則多采用傳動更加平穩(wěn)的人字齒輪取代直齒輪。國內(nèi)外已有大量學(xué)者對行星齒輪動態(tài)特性進行全面且深入的研究，得到很多較為成熟的結(jié)論。利用集中質(zhì)量法建立的離散模型[1-5]是目前常用的動力學(xué)分析模型，此類模型將齒輪主體部分視為剛體，而將嚙合的輪齒視為沿著嚙合線方向的彈簧?；诖祟愲x散模型，有許多研究針對主要參數(shù)對行星輪系統(tǒng)動態(tài)特性[6–9]的影響而展開。這些參數(shù)包括重合度[10]、嚙合剛度[11]、各類誤差[12–14]以及各行星輪間的相位差[15]等。

由于這些分析主要針對直齒行星齒輪，重合度也主要是指端面重合度。人字齒的重合度包括端面重合度與縱向重合度，縱向重合度不僅影響著總重合度的大小，與端面重合度相比，縱向重合度對系統(tǒng)動態(tài)特性有著不同的影響?？v向重合度則取決于人字齒的螺旋角與輪齒厚度，目前還鮮有研究涉及到這兩個參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。

通過多尺度法，分析時變嚙合剛度的前幾階波動幅值對人字齒行星輪動態(tài)特性的影響。利用傅里葉級數(shù)展開式，獲取了端面重合度、縱向重合度與時變嚙合剛度各階波動幅值的表達式，并利用縱向重合度與螺旋角、齒厚的關(guān)系式，直接分析了螺旋角、齒厚對人字齒行星輪動態(tài)特性的影響。計算結(jié)果表明，對螺旋角和齒厚優(yōu)化后的人字齒行星輪系統(tǒng)振動明顯減弱，動態(tài)傳遞誤差明顯降低。研究為人字齒行星輪的設(shè)計提供理論指導(dǎo)，對理論研究和工程實際都有著重要的意義。

1　模型

文獻[2]中所建立的行星輪扭轉(zhuǎn)振動的動力學(xué)模型主要針對直齒輪，參考該模型建立人字齒行星輪機構(gòu)的動力學(xué)模型。行星輪機構(gòu)如圖1所示，各輪的局部坐標(biāo)系以及符號含義參考文獻[1]。

N行星輪系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

對于純扭轉(zhuǎn)的行星輪系統(tǒng)

式中ui、ri、Ii（下標(biāo)i為c、r、s和1…N）分別為各輪沿嚙合線方向上的扭轉(zhuǎn)線位移（即ui= riθi）、基圓半徑和轉(zhuǎn)動慣量，其中rc則表示太陽輪圓心與行星輪圓心之間的距離。下標(biāo)c、r、s和1…N分別表示行星架、內(nèi)齒環(huán)、太陽輪和各行星輪。mn為各行星輪的質(zhì)量。E為系統(tǒng)的內(nèi)部激勵，包括時變嚙合剛度和輪齒修形的激勵，F(xiàn)T為外部的載荷向量。在所討論的行星輪系統(tǒng)中，行星架固定，扭矩從太陽輪通過行星輪傳遞至內(nèi)齒環(huán)。E和FT的具體表達形式為

式中g(shù)r(n,m)和gs(n,m)分別為內(nèi)齒環(huán)和太陽輪與第n個行星輪嚙合處的輪齒修形量，hn為同時參與嚙合的輪齒數(shù)量。外部載荷F=Ts/rs，其中Ts為外加在太陽輪上的扭矩。km為時變嚙合剛度矩陣。ksn(t)和krn(t)分別為太陽輪和內(nèi)齒環(huán)與第n個行星輪的嚙合剛度。脫齒現(xiàn)象由階躍函數(shù)Θ(δ)來實現(xiàn)。δ為輪齒嚙合時的壓縮變形，當(dāng)δ為正時，輪齒處于接觸狀態(tài)，Θ(δ)= 1；當(dāng)輪齒脫離時，δ為負，此時Θ(δ)=0。

圖1　行星輪質(zhì)量集中模型圖

2　時變嚙合剛度

圖2為無量綱的人字齒輪單齒嚙合剛度示意圖，圖3為綜合重合度c=2.4時的綜合嚙合剛度示意圖，其傅里葉級數(shù)表達式可以表達為式(2)，各項系數(shù)如式(3)所示：

圖2　時變嚙合剛度示意圖

圖3　綜合嚙合剛度示意圖

c1=min(cβ,ct ),c2=max(cβ,ct )，cβ、ct、c分別為縱向重合度、端面重合度和綜合重合度。N是同時參與嚙合的輪齒數(shù)量的最大值，即N是大于綜合重合度c的最小整數(shù)。由a0=2c2/N可知，縱向重合度與端面重合度中較大的那一個決定了時變嚙合剛度的平均值。由式(3)可以看出，cβ或ct為整數(shù)時，綜合剛度的各階幅值皆為零，綜合剛度為一個恒定值［16］。綜合嚙合剛度的第n階波動系數(shù)可以表示為

表1　五行星輪均布人字齒行星輪的主要參數(shù)

采用表1中的數(shù)據(jù)，由縱向重合與齒厚、螺旋角的關(guān)系式(5)和式(4)可以得到圖4和圖5。

圖4　螺旋角和齒寬對嚙合剛度第1階波動幅值的影響

3　多尺度法分析

通過多尺度法分析，可以得到系統(tǒng)振動幅值與嚙合頻率的近似關(guān)系式。分別為太陽輪-行星輪、內(nèi)齒環(huán)-行星輪的時變嚙合剛度的第1階傅里葉系數(shù)。脫齒函數(shù)可以表示為[17]

圖5　螺旋角對嚙合剛度各階波動幅值的影響

其中Gsniw和Grniw分別為矩陣Gsn和Grn的第(i,w )個元素。為模態(tài)矩陣，ωi是i階固有頻率，θsm是太陽輪-行星輪嚙合脫齒函數(shù)的第m階傅里葉系數(shù)

對于?r=?s，內(nèi)齒環(huán)-行星輪嚙合脫齒函數(shù)的θr0和θrm為將式(9)中的下標(biāo)s換為r。對于?r=?s+π，則θr0=θs0，且

其中ξs、ξr分別為太陽輪-行星輪、內(nèi)齒環(huán)-行星輪在一個振動周期內(nèi)的脫齒時間，T為振動周期。

4　實例分析

以表1中的人字齒行星輪機構(gòu)為例，利用式和龍格庫塔法分別分析螺旋角和齒厚對該機構(gòu)動態(tài)響應(yīng)、動態(tài)傳遞誤差的影響。

利用式(4)、和式(5)、式(8)可以得到在固有頻率附近太陽輪振動幅值與人字齒齒厚、螺旋角的關(guān)系，如圖6所示?？梢钥闯?，螺旋角與齒厚對機構(gòu)動態(tài)響應(yīng)幅值有著周期性的影響。結(jié)合式(5)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)螺旋角和齒厚的取值使得縱向重合度接近整數(shù)時，行星輪機構(gòu)的振動響應(yīng)可被極大地減小。

為進一步說明螺旋角和齒厚對人字齒行星輪機構(gòu)動態(tài)響應(yīng)的影響，從圖6中選取了A、B、C、D四個點，利用式(1)建立的離散模型，借助龍格-庫塔法分別計算這四個點上太陽輪扭轉(zhuǎn)方向在第1階固有頻率附近的振動響應(yīng)以及太陽輪-行星輪的頻域動態(tài)傳遞誤差。

圖7得到與圖6相吻合的結(jié)果，A點處的振動幅值最大，B、C次之，而D點振動幅值最小?？梢钥闯?，選取恰當(dāng)?shù)穆菪呛妄X厚可以有效降低人字齒行星輪振動幅值。

圖7　在第1階固有頻率附近A、B、C、D四點處太陽輪的扭轉(zhuǎn)振動響應(yīng)

借助龍格-庫塔法進一步計算太陽輪-行星輪在A、B、C、D四點處的動態(tài)傳遞誤差，如圖8所示。

與圖7和圖6中的結(jié)果相吻合，A點處動態(tài)傳遞誤差最大，且在第2階扭轉(zhuǎn)固有頻率附近出現(xiàn)了脫齒現(xiàn)象，動態(tài)傳遞誤差曲線有明顯軟化現(xiàn)象。而B、C兩點動態(tài)傳遞誤差則明顯減小，已經(jīng)沒有了脫齒現(xiàn)象。D點處的動態(tài)傳遞誤差則最小，此時行星輪傳遞精度得到了極大提高。

圖8　A、B、C、D四點處，太陽輪-行星輪的動態(tài)傳遞誤差

5　結(jié)語

研究了人字齒行星輪的螺旋角和齒厚對機構(gòu)動態(tài)響應(yīng)、動態(tài)傳遞誤差的影響。首先利用傅里葉展開式，分析了螺旋角、齒厚對時變嚙合剛度各階波動幅值的影響；利用多尺度法得到了固有頻率附近機構(gòu)振動幅值與時變嚙合剛度、嚙合頻率的關(guān)系式。進而可以直接得到螺旋角與齒厚對機構(gòu)振動幅值的影響。并通過一個實例分析驗證推導(dǎo)結(jié)果，得到以下幾個結(jié)論：

(1)建立的人字齒行星輪動力學(xué)模型考慮時變嚙合剛度、齒廓側(cè)隙、脫齒等非線性因素的影響，并利用該模型分析人字齒齒厚與螺旋角對系統(tǒng)振動幅值的影響，得到與多尺度法一致的結(jié)果。

(2)人字齒的螺旋角與齒厚對齒輪組的時變嚙合剛度有著周期性影響，當(dāng)二者取值使得縱向重合度接近整數(shù)時，時變嚙合剛度的各階波動幅值接近為零。

(3)實例分析證明，選取適當(dāng)?shù)穆菪呛妄X厚，可以同時降低太陽輪-行星輪、內(nèi)齒環(huán)-行星輪時變嚙合剛度的波動幅值，繼而減小結(jié)構(gòu)振動幅值，提高其傳動精度。

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Influence of Tooth Width and Helical Angle on Dynamic Characteristics of Herringbone Planetary Gears

WU Wen-min1, XUN Chao2, LONG Xin-hua2
( 1. ChinaHelicopter Researchand Development Institute, Jingdezhen 333000, Jiangxi China; 2. StateKey Laboratory of Mechanical Systemand Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:The influences of tooth width and helical angle on the dynamic characteristics of herringbone planetary gears were analyzed through multi- scale approach. A lumped parameter model of herringbone planetary gears was established with theconsideration of time-varying meshing stiffnessand contact loss. Based on thismodel, theinfluenceof helical angleand tooth width on thedynamic responsewasanalyzed. Theresult showsthat, helix angleand tooth width have periodical effectson thetime-varying mesh stiffnessof each order, thereforethedynamic responseamplitudesand dynamic transmissionerror canbereducedby proper choiceof thehelix angleandtoothwidth.

Key words:vibration and wave; helix angle; tooth width; herringbone planetary gear; dynamic characteristics; dynamictransmissionerror; multi-scaleapproach

通訊作者：荀超（1990-），男，山西臨汾人，博士生，主要研究方向為齒輪動力學(xué)。E-mail:xhlong@sjtu.edu.cn

作者簡介：吳文敏，男，江西人，主要研究方向為直升機設(shè)計、研究。

收稿日期：2015-10-23

文章編號：1006-1355(2016)02-0052-04+79

中圖分類號：THO322；

文獻標(biāo)識碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.02.011