統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜及其在地震動(dòng)合成中的應(yīng)用

何浩祥，韓恩圳，閆維明

(1.工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(北京工業(yè)大學(xué))，100124 北京; 2.首都世界城市順暢交通北京市協(xié)同創(chuàng)新中心，100124 北京)

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統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜及其在地震動(dòng)合成中的應(yīng)用

何浩祥1,2，韓恩圳1，閆維明1,2

(1.工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(北京工業(yè)大學(xué))，100124 北京; 2.首都世界城市順暢交通北京市協(xié)同創(chuàng)新中心，100124 北京)

摘要:為改進(jìn)目前抗震設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜的精度和統(tǒng)計(jì)特征在不同周期段有所差異以及由此合成的地震動(dòng)的低階譜在頻譜特性方面不夠真實(shí)等問題，基于相對(duì)位移反應(yīng)譜線性模型及其與高階譜的關(guān)系，提出采用唯一函數(shù)形式表示的統(tǒng)一光滑加速度反應(yīng)譜，在此基礎(chǔ)上提出兼顧位移譜特性的人工地震動(dòng)合成方法.數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明統(tǒng)一光滑譜具有形式簡單、各周期段精度均較高等優(yōu)點(diǎn)，由此生成地震動(dòng)信號(hào)能夠更綜合準(zhǔn)確地滿足加速度譜、速度譜和位移譜的頻譜特性需求，精度較高.統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜在函數(shù)形式、多階譜、彈塑性譜精度及多維性等方面具備統(tǒng)一性，可以應(yīng)用于結(jié)構(gòu)抗震分析及地震動(dòng)合成.

關(guān)鍵詞:反應(yīng)譜；地震動(dòng)；抗震設(shè)計(jì)譜；光滑；人工地震動(dòng)合成

結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)理論的發(fā)展經(jīng)歷了靜力理論、反應(yīng)譜理論、動(dòng)力時(shí)程分析和基于性能的設(shè)計(jì)理論4個(gè)階段.對(duì)于一般性結(jié)構(gòu)，目前大多數(shù)國家仍將抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜作為估計(jì)結(jié)構(gòu)在使用年限內(nèi)可能遭受的地震作用水平的主要依據(jù)和手段.

地震反應(yīng)譜是指單質(zhì)點(diǎn)體系在給定阻尼及地震動(dòng)作用下的最大反應(yīng)隨其自振周期變化的曲線.抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜是以地震反應(yīng)譜特性為依據(jù)，在獲取大量地震動(dòng)的反應(yīng)譜基礎(chǔ)之上加以統(tǒng)計(jì)分析和平滑處理并結(jié)合經(jīng)驗(yàn)判定確定的曲線.由于地震動(dòng)是典型的時(shí)頻非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)，影響地震動(dòng)反應(yīng)譜的因素豐富且復(fù)雜，獲得適用性強(qiáng)的抗震加速度設(shè)計(jì)譜十分困難.目前各國或地區(qū)基本上均采用分段函數(shù)的形式并通過反應(yīng)譜平臺(tái)值(中國規(guī)范采用地震影響系數(shù)最大值) 和特征周期2個(gè)特征參數(shù)來表征反應(yīng)譜的基本形狀，但這些抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜在形狀及周期控制點(diǎn)等方面不僅存在明顯差異，而且存在大量的不確定性.各國或地區(qū)抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的不同導(dǎo)致了其抗震設(shè)計(jì)水平及結(jié)構(gòu)的抗震性能也存在較大差異性，消除這種差異有利于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)水平的提高.

此外，抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中的反應(yīng)譜一般都是指某種標(biāo)準(zhǔn)化的絕對(duì)加速度譜，并沒有直接給出相對(duì)速度譜和相對(duì)位移譜.實(shí)際上，對(duì)于復(fù)雜地震動(dòng)或長周期結(jié)構(gòu)，地震動(dòng)的速度和位移時(shí)程對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)也具有顯著的作用，如果直接利用與實(shí)際譜特征有較大差異的加速度設(shè)計(jì)反應(yīng)譜并簡單地根據(jù)擬譜關(guān)系確定相對(duì)速度譜和相對(duì)位移譜等低階譜，將進(jìn)一步放大這種誤差.因此，不能保證僅通過絕對(duì)加速度譜生成的人工地震波在頻譜特性等方面與實(shí)際地震動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特性完全相似，在某些情況這些誤差可能會(huì)嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)抗震減震的分析結(jié)果和設(shè)計(jì)水平.

綜上所述，針對(duì)抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜目前的研究不足，提出新型的反應(yīng)譜函數(shù)形式從而提高其適用性，并確保其低階譜的頻譜特征能夠與相應(yīng)的真實(shí)譜值接近，進(jìn)而能夠合成更精確的人工地震波是十分必要的.本文提出了統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜的概念，并對(duì)其精度、簡便性和適用性進(jìn)行了對(duì)比及驗(yàn)證，最后提出了基于光滑反應(yīng)譜并考慮低階譜的人工地震動(dòng)合成方法.

1關(guān)于設(shè)計(jì)反應(yīng)譜譜形的討論

1934年Biot[1]提出了地震動(dòng)反應(yīng)譜的基本理論，其反應(yīng)譜形式為具有明顯尖端點(diǎn)的連續(xù)曲線.20世紀(jì)40年代Housner[2]對(duì)多條地震動(dòng)反應(yīng)譜進(jìn)行規(guī)準(zhǔn)化再取平均獲得了用連續(xù)型曲線形式表示的抗震設(shè)計(jì)譜，此后反應(yīng)譜理論逐漸得到推廣和應(yīng)用.20世紀(jì)60年代末，Newmark等[3]認(rèn)為反應(yīng)譜的高頻、中頻和低頻段分別與地震動(dòng)的加速度、速度和位移幅值相關(guān)，設(shè)計(jì)譜應(yīng)該用規(guī)準(zhǔn)譜分別乘以相應(yīng)的地震動(dòng)幅值用直線段來表示，進(jìn)而提出了三聯(lián)坐標(biāo)系下直線分段式設(shè)計(jì)譜模型.Newmark提出的設(shè)計(jì)譜帶有明顯的經(jīng)驗(yàn)化特征，首先設(shè)計(jì)譜的形狀與幾個(gè)固定周期有關(guān)，其次各區(qū)段譜值與地震動(dòng)幅值均成固定比例.盡管分段式設(shè)計(jì)譜模型的精細(xì)度略差，但其仍以眾多優(yōu)點(diǎn)被研究者普遍接受并在絕大部分國家或地區(qū)的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中加以沿用和推廣，而有關(guān)連續(xù)光滑型反應(yīng)譜的研究日漸式微.

目前，絕大部分國家或地區(qū)抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中的設(shè)計(jì)譜采用的是自然坐標(biāo)下的分段表達(dá)形式[4-7].設(shè)計(jì)譜的加速度控制段一般由上升斜直線段和平臺(tái)段組成；速度控制段主要由指數(shù)衰減曲線表達(dá)，也有用斜直線下降段表達(dá)的情況；位移控制段的表達(dá)主要有指數(shù)衰減曲線、平臺(tái)段或斜直線下降段幾種形式.廣義設(shè)計(jì)譜由斜直線上升段、平臺(tái)段和指數(shù)衰減曲線段組成，可表示為

(1)

式中:αm為地震動(dòng)加速度峰值,βm為規(guī)準(zhǔn)設(shè)計(jì)譜平臺(tái)幅值或反應(yīng)最大放大倍數(shù),T0、Tg、Tw分別表示第一拐點(diǎn)周期、第二拐點(diǎn)周期(特征周期)和第三拐點(diǎn)周期，γ為曲線下降一段的衰減指數(shù)，ν為曲線下降二段的調(diào)整指數(shù).各國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中相應(yīng)參數(shù)取值各有不同[8-9]，美國規(guī)范NEHRP2003和歐洲規(guī)范Eurocode8均采用了上式形式，且ν為1.日本抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中譜曲線的下降一段和二段是光滑連續(xù)的，即ν為0.中國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范反應(yīng)譜前三段符合上式，但下降二段采用了直線形式.

分段式設(shè)計(jì)譜的各段函數(shù)雖然相對(duì)準(zhǔn)確地體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)在不同頻域內(nèi)的頻譜特性，但是各段函數(shù)的連接處是連續(xù)但不光滑的，這些局限導(dǎo)致分段式設(shè)計(jì)譜存在以下嚴(yán)重不足：(1) 不同頻段的分段式設(shè)計(jì)譜具有不同的統(tǒng)計(jì)特征及離散性；(2) 分段式設(shè)計(jì)譜在不同周期拐點(diǎn)處的譜值與統(tǒng)計(jì)結(jié)果偏差較大；(3) 分段式設(shè)計(jì)譜的形狀不能與反應(yīng)譜的整體變化特征完全吻合；(4) 高階分段式設(shè)計(jì)譜的譜形略有偏差就可能導(dǎo)致低階譜形嚴(yán)重偏離實(shí)際特征.因此在對(duì)傳統(tǒng)的分段式設(shè)計(jì)譜的特性繼續(xù)進(jìn)行深入研究的基礎(chǔ)上，有必要追根溯源，通過詳細(xì)比較和分析不同國家或地區(qū)規(guī)范設(shè)計(jì)反應(yīng)譜不足和局限，對(duì)抗震設(shè)計(jì)譜的最優(yōu)譜形及基本模式進(jìn)行探討和改進(jìn)[10].

從自然界發(fā)生的現(xiàn)象及其普遍規(guī)律來看，各種物理量的變化往往是連續(xù)的，由此衍化的參數(shù)或性能表征在數(shù)學(xué)形式上也應(yīng)該是光滑函數(shù)而不是簡單生硬的多拐點(diǎn)函數(shù).眾多研究成果表明，對(duì)大量地震動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算得到的加速度反應(yīng)譜的均值曲線是典型的光滑曲線，并沒有明顯的平臺(tái)和拐點(diǎn).因此，在充分考慮大量地震動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征及變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，提出具有普適性的統(tǒng)一光滑設(shè)計(jì)譜對(duì)地震動(dòng)及抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜研究均有重大的理論意義及應(yīng)用價(jià)值.

事實(shí)上，對(duì)光滑反應(yīng)譜的研究雖然少見，但仍然長期存在.胡聿賢[11]曾對(duì)32個(gè)國家或地區(qū)的40個(gè)加速度設(shè)計(jì)譜進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果表明只有智利于1972年頒布的抗震設(shè)計(jì)規(guī)范曾采用光滑反應(yīng)譜，其函數(shù)形式為

(2)

由上式確定的反應(yīng)譜在中長周期段與實(shí)際地震動(dòng)的均值譜差異較大，適用性差.1996年智利在抗震規(guī)范NCh133[12]中規(guī)定的抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜計(jì)算公式為

(3)

式中:I為與結(jié)構(gòu)相關(guān)的系數(shù)，R*為與結(jié)構(gòu)周期相關(guān)的衰減因子，Tn為結(jié)構(gòu)第n階振型對(duì)應(yīng)的周期，對(duì)于Ⅰ類和Ⅱ類場(chǎng)地，p分別取2.0和1.5，對(duì)于Ⅲ類和Ⅳ類場(chǎng)地，p均取1.0.上述的反應(yīng)譜譜形雖然是光滑的，但其形式復(fù)雜，應(yīng)用不便，更重要的是由其變換得到的低階譜誤差仍然較大.上述缺陷限制了對(duì)該譜的肯定及推廣.

2001年美國AEC頒布了新的核電指導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)NUREG/CR 6728[13].NUREG設(shè)計(jì)譜的確定以大量強(qiáng)震記錄為基礎(chǔ)，參考了巖石場(chǎng)地概率地震危險(xiǎn)性分析結(jié)果，并采用了曲線函數(shù)表達(dá)為

(4)

式中:f為結(jié)構(gòu)頻率，αm為地震動(dòng)加速度峰值，c1～c5為與震級(jí)和震中距有關(guān)的參數(shù).NUREG設(shè)計(jì)譜的特點(diǎn)是其譜形考慮了地震危險(xiǎn)性分析的結(jié)果，且與地震動(dòng)平均反應(yīng)譜的變化趨勢(shì)相近.但該譜在函數(shù)形式上與傳統(tǒng)的抗震設(shè)計(jì)譜差異較大，參數(shù)較多，且采用了對(duì)數(shù)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換到自然坐標(biāo)后數(shù)值浮動(dòng)較大，尚不能直接在普通結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中推廣使用.

此外，美國加利福尼亞州CALTRANS橋梁抗震設(shè)計(jì)規(guī)范依據(jù)美國下一代衰減關(guān)系(NGA)計(jì)劃建立的地震動(dòng)衰減模型提供了在不同震級(jí)和剪切波速等條件下的橋梁用光滑反應(yīng)譜[14]，但并沒有給出具體的表達(dá)式，不易推廣.

綜上所述，目前仍然沒有普適性的統(tǒng)一光滑設(shè)計(jì)譜，尋找與傳統(tǒng)規(guī)范設(shè)計(jì)譜在參數(shù)及表達(dá)形式上相類似的光滑譜是十分必要的，本文將對(duì)此進(jìn)行研究.

2統(tǒng)一光滑地震反應(yīng)譜

對(duì)于坐落在剛性地基上的單質(zhì)點(diǎn)彈性體系，應(yīng)用數(shù)值積分方法可求得地震激勵(lì)下的具有不同頻率或周期下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)最大值，從而可先后獲得相對(duì)位移反應(yīng)譜Sd、相對(duì)速度反應(yīng)譜Sv、絕對(duì)加速度反應(yīng)譜Sa.當(dāng)?shù)卣饎?dòng)過程足夠長時(shí)，一般認(rèn)為可以忽略響應(yīng)解析表達(dá)式中關(guān)于阻尼系數(shù)的高次項(xiàng)并將正弦函數(shù)與余弦函數(shù)等價(jià)，得到位移反應(yīng)譜與擬速度反應(yīng)譜Spv、擬加速度反應(yīng)譜Spa的關(guān)系[15-16]：

(5)

由于將正弦函數(shù)與余弦函數(shù)等價(jià)的假定比較粗略，很多地震作用下的擬速度反應(yīng)譜在低頻段與相對(duì)速度反應(yīng)譜的差別比較明顯.但由相對(duì)位移反應(yīng)譜Sd反推獲得的擬加速度反應(yīng)譜Spa與絕對(duì)加速度反應(yīng)譜Sa的偏差可以忽略不計(jì).鑒于Sa屬于高階譜，其變化規(guī)律相對(duì)復(fù)雜，可考慮從研究Sd的頻譜特性入手獲取高階光滑譜.在地震反應(yīng)譜中，Sd的規(guī)律最為明顯和簡單，眾多研究成果表明[3,11,17]：考慮了場(chǎng)地條件和結(jié)構(gòu)阻尼比影響后，一般認(rèn)為相對(duì)位移反應(yīng)譜可近似用線性模型來表示：

(6)

值得指出的是，上式是具有完全項(xiàng)一次多項(xiàng)式，而多項(xiàng)式是最簡單的光滑曲線，且具有無限可微的特性.考慮到式(5)中Sd與Sv的關(guān)系以及ω=2π/T，并從函數(shù)表達(dá)式的完備性上考慮，可構(gòu)建擬速度反應(yīng)譜為完全項(xiàng)多項(xiàng)式:

(7)

縱觀式(6)和式(7)，雖然式(6)不能展現(xiàn)相對(duì)位移反應(yīng)譜的全部特性，但通過設(shè)定式(7)使其成為具有完全項(xiàng)的多項(xiàng)式，從而使得通過式(7)和式(5)換算回相對(duì)位移反應(yīng)譜時(shí)，得到的表達(dá)式比式(6)更豐富細(xì)致，彌補(bǔ)了原有缺陷.依此方法，可獲得擬加速度反應(yīng)譜和絕對(duì)加速度反應(yīng)譜的完全項(xiàng)表達(dá)式為

(8)

上式為光滑曲線，且形式簡單，通過合理地設(shè)置參數(shù)可以較準(zhǔn)確地反映加速度譜的變化規(guī)律.

為了驗(yàn)證光滑加速度反應(yīng)譜的優(yōu)點(diǎn)，參考美國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)場(chǎng)地類型的劃分要求，本文利用太平洋地震工程研究中心(PEER)數(shù)據(jù)庫，針對(duì)每類場(chǎng)地分別選取了世界范圍內(nèi)的70條典型地震記錄，采用Runge-Kutta法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，獲得了各類場(chǎng)地的彈性加速度反應(yīng)譜，其阻尼比取為5%.根據(jù)不同規(guī)范中的加速度反應(yīng)譜函數(shù)，采用Levenberg-Marquardt優(yōu)化算法對(duì)不同場(chǎng)地的均值反應(yīng)譜進(jìn)行非線性擬合.其中C類場(chǎng)地的擬合結(jié)果見圖1、2.

各國或地區(qū)規(guī)范采用的分段式設(shè)計(jì)譜由于受規(guī)定的特征周期及分段譜函數(shù)的所限，在特征周期之內(nèi)與真實(shí)譜的偏差較大；在特征周期之外，歐洲規(guī)范譜具有較高的精度，但其他規(guī)范譜仍有一定偏差.上述現(xiàn)象在文獻(xiàn)[18-19]中均有所體現(xiàn)和論述.光滑譜不存在明顯的特征周期，但在各個(gè)周期段上均有良好的逼近性，最接近于真實(shí)譜數(shù)據(jù).C類場(chǎng)地下各反應(yīng)譜的殘差絕對(duì)值(實(shí)際譜值與擬合譜值之差的絕對(duì)值)見圖3，進(jìn)一步驗(yàn)證了光滑譜的精確性.

圖1　C類場(chǎng)地不同加速度反應(yīng)譜擬合結(jié)果對(duì)比(0～1 s)

圖2　C類場(chǎng)地不同加速度反應(yīng)譜擬合結(jié)果對(duì)比(1～6 s)

圖3　C類場(chǎng)地下各反應(yīng)譜的殘差絕對(duì)值

不同場(chǎng)地下各譜的加速度反應(yīng)譜擬合殘差絕對(duì)值和見表1.對(duì)于所有場(chǎng)地類別，光滑譜均表現(xiàn)出了優(yōu)越的擬合性能，適合作為設(shè)計(jì)反應(yīng)譜的參考形式.此外可以看出，歐洲規(guī)范譜也具有較好的精度，日本及美國規(guī)范雖然有一定偏差，但偏于保守，而中國規(guī)范譜在短周期和長周期段的殘差均較大，需要考慮進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整.

表1　不同加速度反應(yīng)譜擬合殘差和　m·s-2

根據(jù)式(5)將各加速度譜轉(zhuǎn)換為擬速度譜和擬位移譜分別見圖4、5.與其他規(guī)范反應(yīng)譜換算得到的結(jié)果相比，可以認(rèn)為由加速度光滑譜獲得的低階光滑譜仍然具有較高的精度.

圖4　不同加速度反應(yīng)譜對(duì)應(yīng)的擬速度譜

圖5　不同加速度反應(yīng)譜對(duì)應(yīng)的擬位移譜

式(8)中，不同參數(shù)均能影響加速度光滑反應(yīng)譜的幅值.此外，調(diào)整b還可以改變反應(yīng)譜的初始值，調(diào)整c、d和e可以影響峰值部分譜形的寬窄.不同場(chǎng)地條件下歸一化后的加速度光滑反應(yīng)譜的擬合參數(shù)見表2，可見除a之外參數(shù)的變化具有明顯的規(guī)律性.

綜合考慮各參數(shù)的作用并結(jié)合目前分段式設(shè)計(jì)譜的參數(shù)選取原則，建議加速度光滑設(shè)計(jì)譜可采用如下形式：

(9)

式中：αm為地震動(dòng)加速度峰值，ac～ec為調(diào)整后的參數(shù).

表2　不同場(chǎng)地條件下歸一化加速度光滑反應(yīng)譜擬合參數(shù)

(10)

式中：a～b等參數(shù)與式(8)中的取值相同，cm為修正系數(shù)，建議取值范圍為1.0～1.1.

根據(jù)式(8)和式(10)的比值可獲得光滑的強(qiáng)度折減系數(shù)R，將其與國內(nèi)外建立的典型等延性強(qiáng)度折減系數(shù)譜擬合公式進(jìn)行對(duì)比[21-24].在C類場(chǎng)地下μ等于4時(shí)的各強(qiáng)度折減系數(shù)曲線見圖6.不同延性下的光滑彈塑性譜見圖7.結(jié)果表明光滑強(qiáng)度折減系數(shù)曲線與其他模型的變化規(guī)律一致，且取值比較均衡.由式(10)獲得的光滑彈塑性譜在中長期周期段內(nèi)具有足夠的精度.

圖6　C類場(chǎng)地下各強(qiáng)度折減系數(shù)曲線對(duì)比

綜上所述，光滑地震反應(yīng)譜具有機(jī)理明確、形式簡單、擬合精度高等優(yōu)點(diǎn)，可以在今后的反應(yīng)譜研究中加以進(jìn)一步驗(yàn)證、應(yīng)用并推廣.光滑地震反應(yīng)譜的統(tǒng)一性主要表現(xiàn)為4個(gè)方面：(1)函數(shù)統(tǒng)一性，將傳統(tǒng)的加速度分段式設(shè)計(jì)反應(yīng)譜統(tǒng)一表示為一個(gè)光滑連續(xù)的多項(xiàng)式函數(shù)，避免出現(xiàn)拐點(diǎn)及不必要誤差，簡明實(shí)用；(2)多階譜精度統(tǒng)一性，在擬位移譜和擬速度譜等低階量上也具有良好的擬合精度，具有較高的協(xié)調(diào)性；(3)彈塑性譜統(tǒng)一性，能夠通過簡單的參數(shù)設(shè)定轉(zhuǎn)換為彈塑性反應(yīng)譜，同時(shí)能確保在中長期周期段內(nèi)具有足夠的精度；(4)多維譜統(tǒng)一性，一般認(rèn)為豎向加速度反應(yīng)譜的譜形與水平加速度反應(yīng)譜的近似，因此光滑譜也同樣適合豎向反應(yīng)譜.此外，根據(jù)王君杰等[25]的研究結(jié)果，轉(zhuǎn)動(dòng)反應(yīng)譜可以根據(jù)視波速和平動(dòng)反應(yīng)譜獲得，因此光滑轉(zhuǎn)動(dòng)反應(yīng)譜可由光滑平動(dòng)反應(yīng)譜經(jīng)過簡單換算直接獲得，最終多維地震動(dòng)反應(yīng)譜均可表示為光滑函數(shù)形式.

圖7　不同延性下的光滑彈塑性譜

3考慮多階譜的地震動(dòng)合成

從大量已有研究成果及前文分析結(jié)果可以看出：相對(duì)于其他國家的設(shè)計(jì)加速度反應(yīng)譜，中國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范采用的加速度反應(yīng)譜的譜值在短周期和中長周期較小，而在長周期部分明顯增大甚至反超，因此關(guān)于中國抗震設(shè)計(jì)譜在長周期段的精度及適用性一直存在爭鳴[26].雖然這在客觀上促進(jìn)了關(guān)于設(shè)計(jì)譜譜形及阻尼比折減系數(shù)等問題的研究，但不斷完善抗震設(shè)計(jì)譜仍是十分必要和迫切的.設(shè)計(jì)譜的演變是一個(gè)隨著震害經(jīng)驗(yàn)和強(qiáng)震記錄的積累以及對(duì)地震動(dòng)反應(yīng)譜特性的不斷認(rèn)識(shí)而逐漸深入的過程，中國建筑抗震規(guī)范大致經(jīng)過了五次演變，主要體現(xiàn)在對(duì)反應(yīng)譜的特征周期以及反應(yīng)譜譜值的不斷修正上.在多次演變之后，設(shè)計(jì)反應(yīng)譜過于強(qiáng)調(diào)經(jīng)驗(yàn)化，而在一定程度上忽略了精確化和平均化，其主要問題表現(xiàn)為：在早期的設(shè)計(jì)譜基礎(chǔ)上多次修改后，設(shè)計(jì)譜的譜形與實(shí)際均值譜或概率譜仍然存在差異，在某些情況下，這種差異甚至被放大了；為了保證長周期結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)具備保守性，人為地增大了長周期段的譜值，而這種方法既不能完全保證對(duì)大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行振型組合后得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的合理性，又導(dǎo)致設(shè)計(jì)譜在低頻段的譜特性失真且各頻段之間不協(xié)調(diào)，由此生成的人工地震動(dòng)不能充分反映真實(shí)地震動(dòng)的頻譜統(tǒng)計(jì)特性，最終將影響時(shí)程分析結(jié)果和抗震設(shè)計(jì)方案的科學(xué)制定.因此，除了針對(duì)目前設(shè)計(jì)譜的不足進(jìn)行改進(jìn)之外，也應(yīng)探討更有效的人工地震動(dòng)合成方法.

目前人工地震動(dòng)合成最常用的方法為基于功率譜的合成法[27]，該法按照相關(guān)抗震規(guī)范并根據(jù)地震烈度、場(chǎng)地類別及持時(shí)等設(shè)計(jì)參數(shù)確定加速度設(shè)計(jì)反應(yīng)譜及功率譜，再由功率譜得到的Fourier幅值譜附加隨機(jī)相位作Fourier逆變換，最后乘以確定性的強(qiáng)度包線函數(shù)得到近似人工地震動(dòng).該法具有一定的精度和效率，基本滿足工程需求，但也存在不足：(1)僅由加速度譜生成地震動(dòng)并不能完全保證該加速度時(shí)程換算成速度和位移時(shí)程后仍符合相關(guān)低階譜的頻譜形式及精度需求；(2)由于目前各國抗震規(guī)范基本采用分段式設(shè)計(jì)譜，由此生成的功率譜也是分段式函數(shù)形式，存在拐點(diǎn)，不利于擬合過程的迭代和收斂，影響計(jì)算效率和精度.

有鑒于此，本文提出了基于統(tǒng)一光滑譜并考慮多階譜的人工地震動(dòng)合成方法，其基本思想是利用統(tǒng)一光滑譜的特點(diǎn)，采用交替迭代的方法對(duì)人工地震動(dòng)的加速度譜和速度譜進(jìn)行同時(shí)修正，最終獲得同時(shí)滿足以上兩種目標(biāo)譜的地震動(dòng)信號(hào).該方法的主要流程：

1) 通過目標(biāo)加速度反應(yīng)譜Sa(ω)與加速度功率譜的近似關(guān)系式求出功率譜

(11)

式中：ξ為結(jié)構(gòu)阻尼比，ω為結(jié)構(gòu)圓頻率，Td為地震動(dòng)持時(shí)，p為計(jì)算反應(yīng)譜的平均幅值不超過目標(biāo)反應(yīng)譜幅值的概率系數(shù)，一般大于0.85.

將地震動(dòng)視為平穩(wěn)過程，結(jié)合目標(biāo)速度反應(yīng)譜和式(8)計(jì)算速度功率譜

(12)

2)由加速度功率譜計(jì)算加速度Fourier幅值譜

(13)

式中Δω為頻率間隔.

類似可得到速度Fourier幅值譜

(14)

3) 計(jì)算目標(biāo)加速度反應(yīng)譜的脈沖響應(yīng)函數(shù)向量，通過Fourier變換求加速度反應(yīng)譜傳遞函數(shù)向量.

4) 將Fourier幅值譜和隨機(jī)相位譜Φ(ω)轉(zhuǎn)換成Fourier變換的實(shí)部和虛部，并進(jìn)行Fourier逆變換，可得到近似的人工地震動(dòng)加速度時(shí)程

(15)

5) 將上式乘以強(qiáng)度包絡(luò)函數(shù)g(t)得到幅值非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程

(16)

6) 對(duì)非平穩(wěn)地震動(dòng)時(shí)程進(jìn)行Fourier變換并將其與反應(yīng)譜傳遞函數(shù)向量乘積的逆變換做卷積運(yùn)算，計(jì)算ag(t)的反應(yīng)譜Sak(ω) (k=1,2,3,…).

7) 用目標(biāo)加速度反應(yīng)譜與計(jì)算反應(yīng)譜的比值修改Fourier幅值譜

(17)

8) 將Aak+1(ω)代入式(15)并按式(16)進(jìn)行調(diào)整，對(duì)新的人工地震動(dòng)加速度時(shí)程進(jìn)行Fourier變換，對(duì)其Fourier分量進(jìn)行積分獲得速度時(shí)程vg(t).

9) 計(jì)算目標(biāo)加速度反應(yīng)譜的脈沖響應(yīng)函數(shù)向量，通過Fourier變換求速度反應(yīng)譜傳遞函數(shù)向量.

10) 對(duì)速度時(shí)程vg(t)進(jìn)行Fourier變換并將其與反應(yīng)譜傳遞函數(shù)向量乘積的逆變換做卷積運(yùn)算，計(jì)算vg(t)的反應(yīng)譜Svk(ω) (k=1,2,3,…).

11) 用目標(biāo)速度反應(yīng)譜與上述計(jì)算反應(yīng)譜的比值修改Fourier幅值譜，獲得新幅值譜

(18)

12) 對(duì)新的人工地震動(dòng)速度時(shí)程進(jìn)行微分，最終獲得新的加速度時(shí)程，代入式(15)，并重復(fù)步驟4)～11)的運(yùn)算，循環(huán)迭代，直到加速度及速度的目標(biāo)反應(yīng)譜與計(jì)算反應(yīng)譜各頻率成分幅值比均接近1，并滿足允許誤差要求為止.

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，本文假定某地震動(dòng)位于Ⅱ類場(chǎng)地土，抗震設(shè)防烈度為8度，多遇地震，設(shè)計(jì)地震分組為第2組，阻尼比為0.05，目標(biāo)反應(yīng)譜為相應(yīng)的光滑譜.人工合成地震動(dòng)的持時(shí)為20 s，式(11)中p取為0.85，采樣頻率為400 Hz，迭代次數(shù)為70次，包絡(luò)線的上升段和下降段線形均為拋物線.按照上述方法及常規(guī)功率譜法合成的加速度信號(hào)見圖8，相應(yīng)的加速度、速度和位移反應(yīng)譜曲線見圖9～11.結(jié)果表明，基于統(tǒng)一光滑譜并考慮多階譜的人工地震動(dòng)反應(yīng)譜與目標(biāo)譜十分吻合，在相同迭代次數(shù)下其精度大于用常規(guī)方法.而常規(guī)地震動(dòng)合成方法由于未兼顧多階譜的需求，其反應(yīng)譜在長周期段不易收斂到指定精度，與目標(biāo)譜偏離較大，該現(xiàn)象在速度譜和位移譜中表現(xiàn)更為明顯.如果將中國抗震設(shè)計(jì)規(guī)范建議的加速度反應(yīng)譜作為目標(biāo)譜進(jìn)行人工地震動(dòng)合成，其速度譜見圖12.可以看出，由于規(guī)范設(shè)計(jì)譜本身存在兩個(gè)明顯拐點(diǎn)，且其長周期段需求相對(duì)發(fā)散，導(dǎo)致即使考慮多階譜的地震動(dòng)合成結(jié)果也差強(qiáng)人意，由常規(guī)方法獲得的地震動(dòng)有時(shí)不能完全滿足速度譜乃至位移譜的頻譜需求.可見，目標(biāo)譜的連續(xù)性和精確性直接影響合成地震動(dòng)頻譜特征的真實(shí)性和準(zhǔn)確性，今后有必要考慮對(duì)中國規(guī)范設(shè)計(jì)譜的譜形進(jìn)行修正.

圖8　人工合成的加速度信號(hào)

圖9　人工合成地震動(dòng)的加速度反應(yīng)譜對(duì)比

圖10　人工合成地震動(dòng)的速度反應(yīng)譜對(duì)比

圖11　人工合成地震動(dòng)的位移反應(yīng)譜對(duì)比

圖12　由規(guī)范反應(yīng)譜合成的速度反應(yīng)譜

4結(jié)論

抗震設(shè)計(jì)譜是通過對(duì)原始地震反應(yīng)譜進(jìn)行平均化、規(guī)準(zhǔn)化、平滑化和經(jīng)驗(yàn)化之后得到的，過程中產(chǎn)生誤差在所難免，精確性和適用性強(qiáng)的加速度設(shè)計(jì)譜應(yīng)該能夠兼顧各周期段的譜值變化規(guī)律和精度，同時(shí)簡便實(shí)用，這樣不僅能夠確保加速度譜與平均反應(yīng)譜吻合，還能保證其低階譜不失真.目前絕大部分國家或地區(qū)均采用分段式設(shè)計(jì)譜的形式，而分段式設(shè)計(jì)譜由于在規(guī)準(zhǔn)化和平滑化過程中存在不足，導(dǎo)致其精度尚需進(jìn)一步完善.同時(shí)，過度經(jīng)驗(yàn)化的設(shè)計(jì)譜可能放大局部周期段的譜值而導(dǎo)致整體的精度和協(xié)調(diào)性變差.以上不足均可能導(dǎo)致由設(shè)計(jì)譜合成的人工地震動(dòng)的頻譜特性與真實(shí)統(tǒng)計(jì)特性不符，對(duì)抗震計(jì)算及設(shè)計(jì)造成不利影響.

基于反應(yīng)譜的基本原理及各階反應(yīng)譜的特性提出了統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜的概念，其譜函數(shù)為多項(xiàng)式商，實(shí)現(xiàn)了用唯一函數(shù)表示整個(gè)譜形的功能，且其精度較高.統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜的統(tǒng)一性具體體現(xiàn)在函數(shù)統(tǒng)一性、多階譜統(tǒng)一性、彈塑性譜統(tǒng)一性及多維譜統(tǒng)一性等4個(gè)方面.

提出的基于光滑譜并考慮多階譜的人工地震動(dòng)合成方法能夠更準(zhǔn)確地符合加速度譜、速度譜和位移譜的頻譜特性需求，精度較高.

統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜尚需更深入的研究.地震動(dòng)是復(fù)雜的近地表多維波動(dòng)，統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜在6 s之外的長周期是否仍能保持足夠的精度，能否充分考慮近場(chǎng)的脈沖效應(yīng)以及遠(yuǎn)場(chǎng)的衰減現(xiàn)象都需要進(jìn)行專項(xiàng)研究.統(tǒng)一光滑反應(yīng)譜在實(shí)際結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)中的應(yīng)用效果也應(yīng)將進(jìn)一步開展研究.

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(編輯趙麗瑩)

Unified smooth response spectrum and application on ground motion simulation

HE Haoxiang1,2, HAN Enzhen1, YAN Weiming1,2

(1.Beijing Laboratory of Earthquake Engineering and Structure Retrofit(Beijing University of Technology), 100124 Beijing, China;2.Beijing Collaborative Innovation Center for Metropolitan Transportation, 100124 Beijing, China)

Abstract:The current acceleration seismic design spectra has the disvatages including that its precision and the statistics features in different period stage have obvious differences, and the spectrum characteristics of the low-order spectrum based on the artificial signals mismatch the real statistics characteristics. The unified smooth spectrum which adopts unique function was presented based on the linear modle of displacement spectrum, and a new ground motion simulation method considering lower-order spectrum was proposed. The analysis results indicate that the smooth spectrum has the advantages such as simple form, high accuracy for all the period stages. The simulated earthquake signal fulfills the spectrum characteristic requirement for acceleration spectrum, velocity spectrum and displacement spectrum. The smooth spectrum has uniform characteristics including function form, the spectrum characteristics on multiple orders, elasto plasticity and multiple dimensions, and it is suitable for dynamic analysis and ground motion simulation.

Keywords:response spectrum; ground motion; seismic design spectra; smooth; artificial ground motion simulation

中圖分類號(hào):TU315. 95; TU311. 3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):0367-6234(2016)06-0177-08

通信作者:何浩祥，hhx7856@bjut.edu.cn.

作者簡介:何浩祥(1978—)，男，副研究員;閆維明(1960—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(51108009, 51378039);

收稿日期:2014-08-02.

doi：10.11918/j.issn.0367-6234.2016.06.028

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金(20111103120022).