響應(yīng)面法對(duì)PBGA封裝元器件的有限元模型修正

（北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191）

響應(yīng)面法對(duì)PBGA封裝元器件的有限元模型修正

張大鵬，李傳日

（北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院，北京100191）

目的利用特殊設(shè)計(jì)夾具來模仿PCB板的典型插入式固定方式，通過響應(yīng)面法對(duì)安裝有PBGA的菊花鏈PCB板有限元模型進(jìn)行修正。方法有限元模型經(jīng)過三次響應(yīng)面修正，每一個(gè)修正階段都計(jì)算仿真前三階頻率與相對(duì)應(yīng)的模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比，建立兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，并利用多目標(biāo)遺傳算法來縮小仿真分析與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果。結(jié)果有限元模型得到了有效的改善。結(jié)論響應(yīng)面法可以從實(shí)際出發(fā)來提升有限元模型準(zhǔn)確度。

PBGA；模態(tài)試驗(yàn)；有限元模型；響應(yīng)面；模型修正

有限元模型的準(zhǔn)確性是分析模型特性的關(guān)鍵所在。盡管許多文獻(xiàn)表明材料屬性和PCB邊界條件對(duì)PCB板仿真影響較大[1—2]，但很少學(xué)者提及到PCB校正的過程。在PCB模型校正過程需要用到試驗(yàn)結(jié)果來對(duì)原始不確定的模型參數(shù)進(jìn)行修正并得到更接近真實(shí)情況的模型。早期有限元模型的校正包括直接法[3—4]和迭代法[5—6]。運(yùn)用直接法修正單元的質(zhì)量剛度矩陣可以與試驗(yàn)結(jié)果很好吻合，然而，修正后的矩陣通常會(huì)失去結(jié)構(gòu)本身特性，從物理意義角度來看，這種修正結(jié)果有時(shí)候也會(huì)變得不合理。采用迭代法計(jì)算參數(shù)敏感度并利用泰勒展開式尋找輸入?yún)?shù)變化量，當(dāng)模型變得復(fù)雜后，這種方法就會(huì)變得特別耗時(shí)也不方便實(shí)現(xiàn)。響應(yīng)面法更適合于快速修正模型并得到很好的修正結(jié)果[7—9]，這種方法通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到一定修正參數(shù)的樣本點(diǎn)，并計(jì)算這些樣本點(diǎn)的值，通過樣本點(diǎn)創(chuàng)建新的模型并計(jì)算其響應(yīng)輸出值，通過將仿真輸出值接近試驗(yàn)結(jié)果創(chuàng)建目標(biāo)函數(shù)，并通過迭代計(jì)算得到修正后的參數(shù)。

文中講述了一種根據(jù)響應(yīng)面法對(duì)有限元模型進(jìn)行修正使得模型更加接近真實(shí)情況的方法。自行設(shè)計(jì)的菊花鏈PCB板上安裝有PBGA元器件，通過特殊設(shè)計(jì)夾具來模擬PCB板的典型插入式固定方式，并對(duì)PCB板進(jìn)行固定。通過Ansys進(jìn)行有限元模型，并通過三個(gè)階段進(jìn)行模型修正。首先對(duì)PCB板、PCB組件自由狀態(tài)及PCB組件固支情況下進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，得出模態(tài)頻率及模態(tài)振型。然后分別對(duì)PCB板的材料參數(shù)、PBGA基板材料參數(shù)及PCB邊界條件進(jìn)行有限元建模及模型修正。使有限元模型與模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)相吻合，得到較為符合實(shí)際情況的有限元模型。

1 模態(tài)試驗(yàn)

模態(tài)試驗(yàn)采用“單輸出、單輸出”方式進(jìn)行，利用一個(gè)加速度計(jì)固定在一個(gè)自由度上，通過力錘敲擊結(jié)構(gòu)產(chǎn)生輸入信號(hào)。力錘和加速度連接到多通道快速傅里葉變換分析儀上采集信號(hào)并計(jì)算其頻響函數(shù)。將加速度計(jì)依次安裝在所有測(cè)試點(diǎn)上收集信號(hào)，并創(chuàng)建輸入輸出傳遞矩陣，然后通過時(shí)域最小二乘法和頻域曲線擬合技術(shù)提取模態(tài)參數(shù)。

首先，對(duì)PCB板進(jìn)行自由模態(tài)試驗(yàn)。菊花鏈PCB板材料為FR4，外形尺寸為203 mm×140 mm×1.6 mm。將PCB板劃分35個(gè)試驗(yàn)測(cè)試點(diǎn)，模態(tài)試驗(yàn)和測(cè)量點(diǎn)如圖1所示。

將兩個(gè)PBGA元器件焊接在PCB板上，PBGA基板外形尺寸為35 mm×35 mm×1.9 mm。對(duì)安裝有PBGA元器件的PCB板進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，測(cè)試點(diǎn)如同PCB板的模態(tài)試驗(yàn)，如圖2所示。

圖1 PCB板模態(tài)試驗(yàn)測(cè)試點(diǎn)分布情況Fig.1 Modal test setup and measurement points of PCB

圖2 PCB組件模態(tài)試驗(yàn)Fig.2 Modal test setup of PCBA

文中所研究邊界條件為典型PCB板插入式固定邊界條件，廣泛應(yīng)用在機(jī)載電子箱中。PCB板通過一個(gè)插入式連接器和兩個(gè)楔形鎖固定在機(jī)載電子箱內(nèi)，如圖3所示。

圖3 典型插入式PCB板和機(jī)載電子箱Fig.3 Typical plug-in PCB and AEC

對(duì)PCB組件在特殊設(shè)計(jì)夾具固支下進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)如圖4所示，其測(cè)試點(diǎn)和PCB板的模態(tài)試驗(yàn)相同。

2 基于響應(yīng)面法的模型修正

響應(yīng)面模型是用來表示有限元模型的函數(shù)模型，利用響應(yīng)面函數(shù)模型代替所構(gòu)建的有限元模型進(jìn)行迭代優(yōu)化求得參數(shù)最優(yōu)解，以實(shí)現(xiàn)模型修正的目的[10]。

利用響應(yīng)面方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正的具體過程歸納如下：

圖4 PCBA三邊固支情況下模態(tài)試驗(yàn)Fig.4 Modal test setup of PCBA and fixture

1）選取修正參數(shù)（如果修正參數(shù)過多就要用到相關(guān)性分析）；

2）利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)修正參數(shù)進(jìn)行抽樣，并計(jì)算樣本點(diǎn)組成的有限元模型輸出值；

3）利用線性回歸建立修正參數(shù)與響應(yīng)輸出值的響應(yīng)面，并進(jìn)行回歸誤差分析；

4）通過結(jié)構(gòu)仿真和試驗(yàn)測(cè)量得到響應(yīng)特性建立目標(biāo)函數(shù)，并進(jìn)行迭代優(yōu)化計(jì)算得到響應(yīng)面模型。

所選取修正參數(shù)與輸出響應(yīng)值之間敏感度要高。如果修正參數(shù)過多，可以通過相關(guān)性分析來減少修正參數(shù)的數(shù)量。

對(duì)修正參數(shù)進(jìn)行樣本點(diǎn)采樣方式將會(huì)影響響應(yīng)面模型的準(zhǔn)確性以及計(jì)算效率。對(duì)修正參數(shù)進(jìn)行采樣和建立響應(yīng)面時(shí)利用廣泛應(yīng)用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法得到樣本點(diǎn)。正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法利用正交表設(shè)計(jì)試驗(yàn)，選取修正參數(shù)樣本點(diǎn)[11]。

常用的表示響應(yīng)面形式的是多項(xiàng)式形式。由于其計(jì)算簡(jiǎn)單，并且多項(xiàng)式函數(shù)為一閉式表達(dá)式[12]。文中利用二次多項(xiàng)式進(jìn)行響應(yīng)面擬合：

式中：β0，βi，βij為回歸系數(shù)；y為響應(yīng)面輸出值；x為修正參數(shù)；k為修正參數(shù)的個(gè)數(shù)。

利用樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)和最小二乘法擬合響應(yīng)面。所得到的響應(yīng)面在使用前要檢驗(yàn)其擬合的準(zhǔn)確度。利用R2準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)：

式中：N為樣本點(diǎn)數(shù)量；yi為第i個(gè)樣本點(diǎn)輸出響應(yīng)真實(shí)值；y·i為第i個(gè)樣本點(diǎn)回歸分析的響應(yīng)值；y為yi的平均值。R2的值在0到1之間，R2越接近1，表明響應(yīng)面模型越準(zhǔn)確[13]。

安裝有PBGA元器件的PCB組件有限元模型修正分為三個(gè)階段，這三個(gè)階段分別修正PCB板材料參數(shù)、PBGA基板材料參數(shù)和PCB板邊界條件。在每個(gè)階段中，利用Ansys計(jì)算仿真PCB板前三階頻率并利用模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模型修正。建立兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)求解修正參數(shù)。第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)為仿真和模態(tài)試驗(yàn)一階頻率差值；第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)為仿真和模態(tài)試驗(yàn)前三階共振頻率殘差平方和。兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)具有相同權(quán)重。

式中：m為修正階段編號(hào)；fsi為仿真共振頻率；ft1為模態(tài)試驗(yàn)共振頻率值；i為模態(tài)階數(shù)；x為修正參數(shù)；xu和xl分別為修正參數(shù)上下限。利用多目標(biāo)遺傳算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化最小值計(jì)算。

2.1 修正PCB材料參數(shù)

利用Ansys建立PCB板有限元模型，包括200個(gè)殼單元，每個(gè)單元包括4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度。通過自由模態(tài)分析有限元模型，求得前三階模態(tài)。

利用MAC矩陣對(duì)模態(tài)仿真和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。MAC矩陣用來評(píng)價(jià)向量之間相關(guān)程度：

式中：ui為第i階模態(tài)仿真振型矩陣；ej為試驗(yàn)第j階模態(tài)試驗(yàn)振型矩陣。

MAC值在0到1之間，其值越接近1表面兩向量相關(guān)性越好。仿真和試驗(yàn)前三階模態(tài)陣型的MAC值見表1，根據(jù)表1可知兩者具有很好的相關(guān)性。

表1 第一階段模態(tài)仿真和試驗(yàn)MAC值Table 1 MAC value of FEA and test modes in stage 1

第一修正階段內(nèi)，PCB材料為各向異性，包括3個(gè)楊氏模量，3個(gè)泊松比和3個(gè)剪切模量。將這9個(gè)材料參數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析[14]，結(jié)果見表2。從表2可知，目標(biāo)函數(shù)只與Ey和Gxy兩個(gè)參數(shù)相關(guān)性較高。相關(guān)性為正，表明響應(yīng)值隨修正參數(shù)增大而增大；若為負(fù)，則隨修正參數(shù)增大而減小[15]。

表2 修正參數(shù)與目標(biāo)函數(shù)之間相關(guān)性Table 2 Correlation between updating parameters and object functions

將Ey和Gxy兩個(gè)參數(shù)作為最終修正參數(shù)。利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法對(duì)參數(shù)在其取值范圍內(nèi)進(jìn)行采樣，得到10個(gè)樣本點(diǎn)。兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面如圖5所示。前三階頻率R2值都接近1，表明擬合度較好。PCB板材料修正前后的Ey值分別為16.7，19.2 GPa，Gxy值分別為3.28，3.58 GPa。修正前后前三階頻率對(duì)比見表3。從表3可知，前三階頻率誤差都減小。

圖5 第一階段兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面Fig.5 Response surface of two objective functions in stage 1

表3 第一階段修正前后前三階頻率對(duì)比Table 3 Comparison of the first three resonant frequencies before and after updating stage 1

2.2 修正PBGA基板材料

利用Ansys建立有限元模型，如圖6所示。PBGA元器件和焊點(diǎn)由實(shí)體單元組成，每個(gè)單元包括20個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有3個(gè)自由度。PBGA元器件四個(gè)邊角處焊點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)建模，其他焊點(diǎn)利用長(zhǎng)方體進(jìn)行近似代替。通過自由模態(tài)分析有限元模型前三階模態(tài)。

圖6 安裝PBGA的PCB有限元模型Fig.6 FE model of PCB installed with PBGA

有限元仿真和試驗(yàn)?zāi)B(tài)振型MAC值對(duì)比見表4。從表4可知，兩者具有很好相關(guān)性。

表4 第二階段模態(tài)仿真和試驗(yàn)MAC值Table 4 MAC value of FEA and test modes in stage 2

假定PBGA基板材料為各向同性，將楊氏模量和泊松比作為修正參數(shù)。由于修正參數(shù)只有兩個(gè)，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性分析，其響應(yīng)面如圖7所示。前三階共振頻率R2檢驗(yàn)值均接近1。PBGA基板材料參數(shù)E修正前后的值分別為20，13 GPa，μ修正前后的值分別為0.3，0.23。頻率比較見表5，從表5可知，前三階共振頻率誤差都減小。

圖7 第二階段兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面Fig.7 Response surface of two objective functions in stage 2

表5 第二階段修正前后前三階頻率對(duì)比Table 5 Comparison of the first three resonant frequencies before and after updating stage 2

2.3 修正邊界條件參數(shù)

在第三修正階段，對(duì)模擬的插入式邊界條件參數(shù)進(jìn)行修正。由于“固支”方式的邊界條件在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，利用“固支”方式來模擬插入式連接器和楔形鎖就會(huì)導(dǎo)致很大的誤差。為了更好模擬PCB板插入式固定的邊界條件，通過Ansys進(jìn)行夾具建模如圖8所示。

通過旋轉(zhuǎn)彈簧限制節(jié)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)自由度的方式來模擬插入式連接器和楔形鎖的固定方式。PCB板邊界與相對(duì)應(yīng)夾具的節(jié)點(diǎn)平動(dòng)自由度進(jìn)行耦合。將模擬楔形鎖的夾具彈簧剛度視為K1；將模擬插入式連接器的夾具彈簧剛度視為K2。

圖8 PCB組件及夾具有限元模型Fig.8 FE model of PCBA and fixture

模態(tài)仿真和試驗(yàn)陣型MAC檢驗(yàn)值見表6。根據(jù)表6可知，兩者具有很高相關(guān)度。兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)面如圖9所示。前三階共振頻率R2值都接近1。

表6 第三階段模態(tài)仿真和試驗(yàn)MAC值Table 6 MAC value of FEA and test modes in stage 3

圖9 第三階段兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面Fig.9 Response surface of two objective functions in stage 3

旋轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)K1修正前后的值分別為1.0×104，2.3×104N·mm/rad，K2分別為1.0×106，9.0×106N·mm/ rad。修正模型前后的前三階共振頻率對(duì)比見表7。

表7 第三階段修正前后前三階頻率對(duì)比Table 7 Comparison of the first three resonant frequencies before and after updating stage 3

從表7可知，盡管模態(tài)仿真第二階共振頻率誤差值仍然很大，但第一階和第三階共振頻率與模態(tài)試驗(yàn)誤差得到改善。第二階共振頻率相對(duì)誤差較大的原因可能是由于夾具設(shè)計(jì)時(shí)存在缺陷，比如夾具材料剛度不足，導(dǎo)致夾具夾緊過程中發(fā)生彎曲，結(jié)果導(dǎo)致邊界條件變得復(fù)雜。除了這一階模態(tài)，由表3、表5和表7可知，響應(yīng)面法模型修正能夠很好地使仿真模態(tài)頻率更加接近真實(shí)模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果。

3 結(jié)語

通過有限元建模及模型修正可以很好地模仿真實(shí)情況，并提取實(shí)際情況很難得到信息?；陧憫?yīng)面有限元模型修正可以快速準(zhǔn)確地對(duì)有限元模型進(jìn)行修正，并得到很好的結(jié)果。

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Finite Element Modeling for PBGA Components Based on RSM modification

ZHANG Da-peng，LI Chuan-ri
（Reliability and System Engineering Institute，Beihang University，Beijing 100191，China）

Objective A specially designed fixture was used to mimic the typical boundary condition of plug-in PCB.A procedure based on response surface method(RSM)was proposed for modifying the finite element(FE)model of plastic ball grid array(PBGA)components mounted on daisy chain PCB.Methods The FE models were updated by RSM in three stages.In each stage,the first three resonant frequencies were calculated and contrasted with corresponding modal test results.Two objective functions were created and the difference between the simulation analysis and modal test results was minimized using a multi-objective genetic algorithm(MOGA).Results The FE model was effectively improved.Conclusion RSM could be used to improve the accuracy of the FE model in a practical way.

PBGA;modal test；FE modeling；RSM；model modification

LI Chuan-ri（1964—），Male，Professor,Researcher，Research focus：product environmental engineering and reliability test technology．

10.7643/issn.1672-9242.2016.02.010

TJ01；TP211+.5

：A

1672－9242（2016）02－0052-06

2015-10-07；

2015-11-08

Received：2015-10-07；Revised：2015-11-08

張大鵬（1987—），男，黑龍江雞西人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楫a(chǎn)品環(huán)境與可靠性試驗(yàn)。

Biography：ZHANG Da-peng（1987—），Male，from Jixi，Heilongjiang，Master graduate student，Research focus：environmental and reliability test of products．

李傳日（1964—），男，教授，研究員，主要研究方向?yàn)楫a(chǎn)品環(huán)境工程、可靠性試驗(yàn)技術(shù)。