包絡(luò)理論在一類初值問題中的應(yīng)用

張艷妮

(吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130112)

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包絡(luò)理論在一類初值問題中的應(yīng)用

張艷妮

(吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130112)

[摘要]本文利用包絡(luò)理論研究一類一階常微分方程初值問題，得到了一致有效的漸近展開式，結(jié)果表明利用這種方法和其它研究所得結(jié)論是一致的。

[關(guān)鍵詞]包絡(luò)理論；奇異攝動(dòng)；包絡(luò)方程

考慮如下一階常微分方程初值問題

(1)

其中，ε>0是小參數(shù)，A是可對(duì)角化的復(fù)矩陣，F(xiàn)是關(guān)于y的向量值多項(xiàng)式函數(shù).文獻(xiàn)[2]利用重正化群方法，以及伸縮坐標(biāo)法和多重尺度法給出了上述奇攝動(dòng)問題的一致有效的漸近解，本文利用包絡(luò)理論[1]研究該攝動(dòng)問題的漸近解.

不失一般性，設(shè)A已是可對(duì)形式，即A=diag(λ1，λ2，…λn).由于F是關(guān)于y的向量值多項(xiàng)式函數(shù)，可將F(y)寫為：

(2)

設(shè)(1)的解有如下展開式：

yε(t)=y0+εy1+ε2y2+….

(3)

將(3)代入(1)，并比較等式兩端ε0和ε1的系數(shù)，得到

(4)

(5)

解(4)得到

y0(t)=e-tAu(t0).

(6)

其中，u(t0)是常向量，由初值條件確定.將(6)代入(5)，利用常數(shù)變易公式，得到

其中，v(t0)是常向量.

由此，初值問題(1)的解的一階近似為

(7)

不失一般性，可取(7)中的v(t0)=0，因此

(8)

注意到(8)中含有長(zhǎng)期項(xiàng)，為了得到(1)的一致有效解，首先將(8)中長(zhǎng)期項(xiàng)分離出來.

于是，展開式(8)化為

(9)

顯然，R(u0)(t-t0)是長(zhǎng)期項(xiàng).

由(9)可知，y(t)是方程(1)的直到O(ε2)的解，但是只在t=t0附近有效，下面用包絡(luò)理論消去(9)中的長(zhǎng)期項(xiàng).注意到y(tǒng)(t)可看作是以t0為參數(shù)的函數(shù)，從而得到一族解曲線{Ct0}t0.由文獻(xiàn)[1]，首先來構(gòu)建曲線族{Ct0}t0的包絡(luò)曲線E的函數(shù)yE(t)，由于曲線族{Ct0}t0的包絡(luò)曲線E與t=t0附近的每一個(gè)局部解都是相切的，因此，包絡(luò)函數(shù)yE(t)與y(t)重合，即yE(t)=y(t).

(10)

由包絡(luò)方程

則

(11)

式(11)實(shí)際上就是文獻(xiàn)[2]中的重正化群方程.假設(shè)u(t0)是(11)滿足初值條件u(t0)=u0的解，并令t0=t，即得到初值問題(1)的一階一致有效的漸近展開式

通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文所得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[2]是一致的.

[參考文獻(xiàn)]

[1]張艷妮.利用經(jīng)典包絡(luò)理論求曲線和曲面的包絡(luò)[J].山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2015(7):141,143.

[2]周冉,張艷妮,黃京男.一階常微分方程組的奇異攝動(dòng)問題[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版，2009(5):941-944.

The Envelope Theory Applied in a Class of Initial Value Problems

ZHANG Yan-ni

(Jilin Architectural University Urban Construction College, Changchun Jilin 130112, China)

Abstract:This paper presents an uniformly valid asymptotic expansion for a class of initial value problems via the envelope theory. And in contrast to other approaches, the results of our method are consistant.

Key words:envelope theory; singular perturbation; envelope equations

[中圖分類號(hào)]O175

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-7602(2016)04-0015-02

[作者簡(jiǎn)介]張艷妮(1982-)，女，助教，碩士，從事常微分方程研究。

[收稿日期]2016-01-29