解析函數(shù)泰勒展開的一種新方法

劉燈明

(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411201)

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解析函數(shù)泰勒展開的一種新方法

劉燈明

(湖南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南湘潭 411201)

[摘要]解析函數(shù)的泰勒展開是復(fù)變函數(shù)論中的一個(gè)重要內(nèi)容，利用線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解，可以簡(jiǎn)潔地求得一些復(fù)雜解析函數(shù)的泰勒展式。

[關(guān)鍵詞]解析函數(shù)；泰勒展開；常微分方程冪級(jí)數(shù)解

解析函數(shù)的泰勒展開是復(fù)變函數(shù)論課程中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，內(nèi)容靈活多變，學(xué)生較難掌握.要求解析函數(shù)f(z)在z=z0點(diǎn)的泰勒展開式，可由泰勒定理直接求解，即從已知的f(z)，求出fn(z0)，從而求出泰勒系數(shù).但很多時(shí)候，任意階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算比較復(fù)雜，甚至無法進(jìn)行.大部分情況下，需要根據(jù)泰勒展式的唯一性，利用已知的泰勒展式(如ez、sinz、cosz、ln(1+z)、(1+z)a等常見初等函數(shù)的泰勒展式)，經(jīng)過一定的處理(如變量代換、部分分式、級(jí)數(shù)的乘除運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積等)之后，求得f(z)的泰勒展開[1].本文從另外一個(gè)角度，即利用線性常微分方程的冪級(jí)數(shù)解來對(duì)一些復(fù)雜解析函數(shù)的泰勒展開式進(jìn)行討論.

1利用常微分方程的級(jí)數(shù)解求泰勒展式的理論依據(jù)

定義1如果方程

(1)

的系數(shù)p(z)在點(diǎn)z0及其鄰域內(nèi)是解析的，則點(diǎn)z0稱為方程(1)的常點(diǎn).若p(z)在點(diǎn)z0不解析，則稱z0為方程(1)的奇點(diǎn).

定義2如果方程

(2)

的系數(shù)p(z)和q(z)都在點(diǎn)z0及其鄰域內(nèi)是解析的，則點(diǎn)z0稱為方程(2)的常點(diǎn).若系數(shù)p(z)或q(z)在點(diǎn)z0不是解析的，則稱點(diǎn)z0為方程(2)的奇點(diǎn).

定理1如果p(z)在圓|z-z0|

f(z0)=a0，a0為任意常數(shù).

(3)

且f(z)在此圓內(nèi)是解析的.

證明作函數(shù)序列

(4)

n=0，1，2，….由于該函數(shù)序列中的被積函數(shù)是解析的，故(4)為解析函數(shù)序列.因此，積分值與積分路徑的選取無關(guān).不妨選取積分路徑為過點(diǎn)z及z0的直線，且為了方便，假設(shè)z0=0.接下來，令

z=ρeiθ，0≤ρ≤R1

則有

注意到p(z)在圓|z-z0|

|f1(z)-f0(z)|≤|a0|Mρ.

進(jìn)一步

重復(fù)上述步驟，由數(shù)學(xué)歸納法，可以證明

可見，上述不等式的右邊為指數(shù)函數(shù)|a0|eMρ泰勒展開的普通項(xiàng)，因此，序列

fn+1(z)=f0(z)+(f1(z)-f0(z))+…+(fn+1(z)-fn(z)).

在|z|≤R1內(nèi)一致收斂.進(jìn)一步，由魏爾斯特拉斯定理，該序列的極限函數(shù)f(z)是|z|

另一方面

顯然，f(z)滿足方程(1)及初始條件(3).這樣就證明了|z-z0|

下面再證唯一性.假設(shè)g(z)為方程(1)在初始條件(3)下的另一解析解，則容易證明：存在正數(shù)A，使得

上式兩邊關(guān)于n→∞取極限，得|f(z)-g(z)|≡0，即f(z)≡g(z).

由定理1，可以把f(z)在z0點(diǎn)的鄰域|z-z0|

(5)

顯然，(z-z0)0的系數(shù)a0正好和初值條件(3)一致.而(z-z0)n的系數(shù)an(n=1，2，3，…)均可由a0表出.事實(shí)上，只需將級(jí)數(shù)解(5)代入到微分方程(1)，比較兩端同次冪的系數(shù)即可.

類似于定理1的討論，則有

定理2如果p(z)、q(z)在圓|z-z0|

f(z0)=a0，f′(z0)=a1，a0和a1為任意常數(shù).

(6)

且f(z)在此圓內(nèi)是解析的.

由定理2，可以把f(z)在z0點(diǎn)的鄰域|z-z0|

2利用常微分方程的級(jí)數(shù)解求泰勒展式

例求函數(shù)f(z)=arctanhz在z=0鄰域內(nèi)的泰勒展式.

解一容易驗(yàn)證f(z)=arctanhz滿足如下一階線性常微分方程

(7)

且z=0是方程的常點(diǎn)，故在z=0的鄰域內(nèi)應(yīng)有泰勒級(jí)數(shù)形式的解.不妨設(shè)其泰勒級(jí)數(shù)解為

(8)

并知

將(8)代入方程(7)可得

即

比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得到

z0的系數(shù)：a1-1=0，即a1=1；

z1的系數(shù)：a2=0；

…………

由此可遞推出

所以

解二容易驗(yàn)證f(z)=arctanhz滿足如下二階線性常微分方程

(9)

且z=0是方程的常點(diǎn)，故在z=0的鄰域內(nèi)f(z)可展開成形如(8)式的泰勒級(jí)數(shù)，并知

將(8)代入方程(9)可得

比較等式兩端同次冪的系數(shù)，得

z0的系數(shù)：2a2=0，即a2=0；

z2的系數(shù)：12a4-4a2=0，推出a4=0；

…………

zl-1的系數(shù)(l≥4)：(l-2)(l-3)al-2-2l(l-1)al+(l+2)(l+1)al+2=0.

由此容易看出，若l=2n，則a2n=0；另一方面，若l=2n+1，則可用數(shù)學(xué)歸納法證明

所以

綜上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)，利用常微分方程的冪級(jí)數(shù)解來對(duì)解析函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，只需將冪級(jí)數(shù)解代入到解析函數(shù)所滿足的微分方程(一階或二階)進(jìn)行確定，然后比較系數(shù)，就可方便、快捷地得到該解析函數(shù)的泰勒展式.

[參考文獻(xiàn)]

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]王高雄,周之銘,朱思銘,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,2012.

[4]吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京:北京出版社,2015.

A New Approach for Taylor Expansion of Analytic Function

LIU Deng-ming

(School of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Science and Technology,Xiangtan Hunan 411201, China)

Abstract:Taylor expansion is one of the most important contents of Complex analysis. By using the series solution of the linear ordinary differential equations, Taylor expansions of some complicated analytic functions are obtained.

Key words:analytic function; Taylor expansion; series solution of the linear ordinary differential equations

[中圖分類號(hào)]O173.1

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]2095-7602(2016)04-0004-04

[作者簡(jiǎn)介]劉燈明(1984- )，男，講師，博士，從事非線性偏微分方程研究。

[基金項(xiàng)目]湖南省教育廳資助科研項(xiàng)目“退化拋物方程的非完全爆破與多重爆破研究”(14B067)；2015年湖南科技大學(xué)教學(xué)研究與改革一般項(xiàng)目“信計(jì)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)研究與實(shí)踐”(G31515)。

[收稿日期]2016-01-22