基于靜態小波分解的空間濾波信號降噪方法

陳閃閃 朱春雪 朱俊臣 朱志雄 曾祥楷

摘要：過零點法是簡單、高效率的提取空間濾波傳感器輸出信號中心頻率的方法，但是過零點方法抗噪性能較差。針對這個問題本文提出了基于靜態小波分解技術的濾波方法對準正弦信號降噪。該方法是根據中心頻率的預測值，控制A/D轉換采樣率，對采集到的準正弦信號進行N層的靜態小波分解，將信號的中心頻率劃分到某一層內，對這層信號再利用過零點方法測中心頻率。試驗表明，該方法是可以有效的提高中心頻率測量精度。

關鍵詞：空間濾波器 過零點法 中心頻率 靜態小波分解

中圖分類號：TN911 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2016）05-0000-00

1 引言

空間濾波測速法（Spatial-Filtering Velocimetry， SFV）是利用空間濾波器技術實現速度測量的方法。因其結構簡單，對光源要求不高得到了廣泛的應用。在該方法中，準確測得空間濾波器輸出的準正弦信號中心頻率是保證系統能夠準確測速的關鍵。所謂準正弦信號是指幅度和相位均隨機的信號，其能量集中在中心頻率處。

在現有中心頻率提取方法中，過零點計數法測頻率是在數字設備中，利用插值技術得到信號過零點坐標，將用過零點坐標計算一段時間內信號的平均頻率作為此段信號的中心頻率的。對于連續周期波形，過零點計數技術是確定中心頻率最簡單的方法，且過零點計數法的提取中心頻率速度快[1]。但是，此方法抗噪聲能力弱，尤其在過零點處的噪聲，特別容易造成粗大誤差。

小波分析是對傅立葉分析的繼承，是一種時間-尺度定位技術，能夠對信號進行頻域分層分析。為了瞬時、準確地提取出中心頻率，本文研究了基于靜態小波分解的自適應濾波技術對空間濾波器輸出的含噪信號進行降噪處理，再用過零點計數法提取降噪后信號中心頻率的方法，這樣提取的中心頻率具有更好的精度。另外，小波分析具有局部性，可以選擇很短時間的信號進行自適應降噪處理，這樣保證了中心頻率提取的瞬時性。在闡述新方法前，有必要對空間濾波器及其輸出的信號特點進行簡述。

2 空間濾波測速原理及其輸出信號特點

差分型空間濾波器可以有效的消除直流分量及各偶數次諧波分量而得到了較多應用，文獻[2]中所用差分型空間濾波器結構如圖1所示。

A支空間濾波器的透射區域分布函數減去B支空間濾波器的透射區域分布函數，結果就是差分空間濾波器透射區域分布函數。其歸一化的理論空間功率譜為：

式中，c為單個光電池感光面積，p和a見圖1中所示。差分型空間濾波器具有窄帶通空間濾波的作用，并且僅僅剩下奇次諧波分量。功率譜在？0=1/p處取得最大值。這樣特性的濾波器決定了其濾波后的信號也是窄帶信號。

將圖1中陰影部分設計成光電池時，空間濾波器既有空間濾波作用又有光電轉換作用。當空間濾波器用于測速時，輸出信號等價于圖像的光強分布函數和空間濾波器透射函數的卷積，最終輸出時域信號的理論功率譜密度為[4]：

上式中，f是時域頻率，？是空域頻率，v是線速度。根據時域頻率與空間頻率的關系最終得到速度和時域中心頻率f0的關系：

由（3）式可知，運動物體每移動p距離，信號就對應出現一個波形周期。由以上分析知，只要測得SF輸出信號的中心頻率就可以計算出對應的速度。圖2是空間濾波器輸出信號的時域仿真波形及其對應的幅度譜。信號幅度和相位的隨機性由運動體反射面的反射系數分布特性和速度決定。

從上圖2可以看出，準正弦信號的幅度和相位是隨機的，其頻譜是窄帶譜，包含有低頻噪聲和高頻噪聲，主要是低頻噪聲的影響，使得信號的周期不均等，直接利用過零點方法測中心頻率會有很大的誤差。針對準正弦信號的譜特性，可以利用小波分解進行自適應濾波，盡可能的濾除低頻和高頻噪聲，使得幅度譜盡可能的變窄。

3 基于靜態小波分解的空間濾波信號降噪方法

3.1多分辨分析和靜態小波分解

小波變換的本質是用不同頻帶的小波對信號的一種逼近，因此小波分析具有多分辨率分析特性。多分辨分析的本質是按照信號帶寬對信號進行高通和帶通鏡像濾波器濾波，得到高頻成分（細節部分）和低頻成分（近似部分），然后對低頻成分繼續應用鏡像濾波器進行濾波，又得到低頻部分的高頻成分和低頻成分，如此進行，就可以實現對信號的多分辨率分析。多分辨分析的原理圖如圖3所示[3]：

Cj是低頻系數集，是Dj高頻系數集——小波變換系數。一般的，根據需要，多分辨分析進行到一定層數就可以了，這樣，信號最終被分解成低頻的近似層和高頻的細節層，將無窮層分解化成為了有限的幾層分解。

靜態小波分解（Stationary Wavelet Transform，SWT）的基本思路是對信號進行鏡像濾波，但是濾波器要隨著分解層數改變而改變，如對序列C1進行濾波時，序列C1不變，對鏡像濾波器組經行上2插0處理，從而使得鏡像濾波器組的譜變成為原來的1/2的寬度，其能夠對C1進行高低通鏡像濾波，得到長度和原始信號序列長度相近的序列C2和D2，對C2繼續進行上述濾波，就會得到各層分解序列[4]。

3.2基于靜態小波分解的空間濾波信號的降噪方法

基于SWT的空間濾波信號的降噪原理，要從離散時間信號的傅里葉變換對應的是歸一化頻率這一基本事實談起。所謂的歸一化頻率是[5]：

F是物理頻率，fs是采樣頻率，f是歸一化頻率，顯然，對于確定的物理頻率，其對應的歸一化頻率由采樣頻率fs決定。上面對多分辨率分析、靜態小波分解都是在離散時間下進行的，所以其頻率是歸一化的。通過控制采樣頻率，就可以將鏡像濾波器組的歸一化頻率的幅度譜控制在某一確定的頻段內，同樣的只要控制對信號的采樣頻率就可以準確的控制離散序列的歸一化頻率頻譜在某一確定的頻段內，而改變采樣頻率是簡單易行的。所以，基于SWT的空間濾波信號的降噪原理如下：選擇合適的母小波，確定要進行靜態小波分解的層數M，預計將準準正弦信號的中心頻率劃分到第N層的細節層，那么，即可根據下面的等式計算出對應的采樣頻率：

上式中，fc'是中心頻率的預測值，可以用前一時刻得到的中心頻率作為預測值。對信號進行Fs頻率的采樣，并對之進行M層靜態小波分解，得到第N層的細節信號。顯然，第N層細節信號的中心頻率與原始信號中心頻率是一樣的，但是該層信號的低頻噪聲與高頻噪聲得到了很好的抑制。對第N層的細節信號用過零點方法提取信號的中心頻率，精度會比直接對原始信號利用過零點技術提取的中心頻率的精度要好。

4 仿真實驗和分析

利用空間濾波信號進行仿真實驗。在進行靜態小波分解時要選擇母小波和分解層數，經過試驗，在本方法中選擇了“db4”作為母小波，進行6層分解，并使得中心頻率包含在第六層的細節部分，設中心頻率是第六層的中點頻率，那么對應的采樣率就是：

那么，經過以上采樣頻率的設置，經靜態小波分解后中心頻率落在了在了第六層的細節部分，只要提取出第六層細節信號，就得到了對準正弦信號的小波分解濾波信號。對濾波后的信號用過零點法測中心頻率。

實際中，為了提高中心頻率提取的瞬時性，數據長度不宜過長，同時，為了提高中心頻率的提取精度，數據又不宜過短，在此，選擇512個點的數據長度。下圖4是得到的一段中心頻率理論值為 2.0106kHz的準正弦信號及其對應的幅度譜。

直接對其進行過零點測中心頻率，提取值為2.1100kHz，相對誤差為4.9410%。對準正弦信號進行靜態小波分解濾波后所得第6層細節信號及其幅度譜如圖5所示。

從圖5中可以看出，信號波形變好，幅度譜變窄。為了比較幅度譜的區別，現將兩者畫在了一起，如圖6所示，在圖6中點畫線代表準正弦信號的幅度譜，實線代表著濾波后信號的幅度譜，比較兩者可以明顯的看到，經過靜態小波分解濾波，信號的低頻和高頻噪聲均得到了很好的衰減，尤其是低頻噪聲，得到了很好的濾除。

對圖6濾波后的信號用過零點方法測中心頻率，提取值為2.0199kHz，相對誤差為0.4598%。

5 結語

本文提出了利用靜態小波分解實現對準正弦信號降噪濾波的方法，在該方法中根據中心頻率預測值，合理地選擇采樣頻率，對信號進行靜態小波分解，即可將中心頻率劃分到某一層內，對該層信號用過零點法測中心頻率。最后的實驗表明，本文研究的新方法對準正弦信號去噪效果比較好，尤其是對信號中的低頻噪聲作用十分明顯，對高頻噪聲也有一定的抑制作用；另外，試驗結果表明，對經過靜態小波分解濾波后的信號利用過零點方法測中心頻率的誤差比直接對準正弦信號利用過零點方法測中心頻率的誤差要小。

參考文獻

[1]鄭麗娜.航空相機高精度速高比測量技術的研究[D].中國科學院大學，2013.93-94.

[2]曾祥楷，陳陽等.空間濾波轉速遙測中旋轉方向的辨識方法[J].光學學報，2015，35（6）：0612001-1～0612001-9.

[3]封常生.小波分析在信號處理中的應用[D].上海：上海交通大學，2007.18～19.

[4]高成，董長紅，郭磊等.Matlab 小波分析與應用[M].北京：國防工業出版社，2007.162～165.

[5]胡廣書.現代信號處理教程[M].北京：清華大學出版社，2004.300～301.