說說表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型

田載今

前面我們學(xué)到過等式（包括方程），知道它可以表示實際問題中的相等關(guān)系，現(xiàn)在我們又學(xué)到不等式，知道它可以表示實際問題中的不等關(guān)系，那么我們究竟該怎樣認(rèn)識不等關(guān)系和不等式呢？

1.不等關(guān)系，

從一堆蘋果中隨意取出兩個分別稱重，有三可能情形：第一個蘋果比第二個蘋果重，兩個蘋果一樣重，第一個蘋果比第二個蘋果輕，三種可能情形中必有且僅有一種發(fā)生，推而廣之，任取兩個實數(shù)a，b，必有且僅有下列三種可能情形中的一種發(fā)生：（1）a大于b，記作a>b（或ba），這里的“大于”“等于”“小于”是三種不同的關(guān)于數(shù)量的大小關(guān)系，其中“大于”和“小于”屬于小等關(guān)系。

不等關(guān)系在客觀事物的數(shù)量比較中普遍存存，例如，度量任一個三角形的邊長，其中任意兩邊之和一定大于第三邊，任意兩邊之差一定小于第三邊。

符號“>”和“<”分別表示“大于”關(guān)系和“小于”關(guān)系，它們的開口一側(cè)對著較大的數(shù)，尖頭一側(cè)對著較小的數(shù)，由開口到尖頭表示由大到小，這是人們創(chuàng)造此類符號的初衷，符號“≠”僅表示“不相等”關(guān)系，而不指明誰大誰小，a≠b表示a>b或ab或單獨的ab或a”“<”“≠”“≥”“≤”統(tǒng)稱不等號。

2.不等式，

等式（包括方程）是用等號表示相等關(guān)系的式子，如l+2=3，3x+2=5，不等式是用不等號表示不等關(guān)系的式子，如2<3，5x+l>16，作為表示不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，不等式是解決許多問題的重要工具。

對于含未知數(shù)的不等式，能使不等式中的不等關(guān)系成立的未知數(shù)的值，叫作不等式的解，一個不等式的解通常有許多個，例如，任意一個比l大的數(shù)都是不等式x+l>2的解，任意一個比1小的數(shù)都是不等式X+l<2的解，一個不等式的全部解組成這個不等式的解集，例如，不等式x+l>2的解集為x>1，不等式x+l<2的解集為x<1，可以看出，不等式的解集即不等式中未知數(shù)的取值范圍。

解不等式是求不等式的解集，含有一個未知數(shù)的不等式的解集，可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，例如，圖1和圖2分別表示不等式x+l>2和x+l<2的解集，

3.不等式的性質(zhì)，

要解不等式，需要先掌握不等式的性質(zhì)，因為不等式的性質(zhì)是解不等式的依據(jù)，不等式的性質(zhì)可歸納為以下三條：

（1）不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，也可表述為：若a>b，則a±c>b±c。

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，也可表述為：若a>b，

運用不等式的性質(zhì)時要特別注意：在不等式兩邊進(jìn)行乘除法運算，要注意乘數(shù)或除數(shù)的正負(fù)。并由此確定不等號的方向，可以結(jié)合特例來加深印象：2>1顯然成立，則2×2>1×2（即4>2）和2×（-2）<1×（一2）（即-4<-2）都成立，

4.一元一次不等式，

只含一個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式形式的不等式，叫作一元一次不等式，它不同于一元一次方程的地方在于式子中有不等號而無等號，解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟大體一樣，但有兩點需要注意：第一，不等式兩邊乘（或除以）同一個不為0的數(shù)時，要根據(jù)這個數(shù)的正負(fù)考慮不等號的方向；第二，解不等式的結(jié)果是得到未知數(shù)的取值范圍，而不是一個確定的值。

聯(lián)系起來，同學(xué)們會對兩個求解過程的相同點與不同點有很清楚的認(rèn)識，

利用一元一次不等式解決實際問題的過程與利用一元一次方程解決實際問題的過程也十分相似，不同之處在于列方程要依據(jù)豐H等關(guān)系，而列不等式要依據(jù)不等關(guān)系，因此在利用一元一次不等式解決實際問題時，一定要分析出相關(guān)的兩個量誰大誰小。并正確地用不等號把表示這兩個量的式子連接起來，這樣就能把實際問題中的不等關(guān)系用不等式表示出來，從而得到解決問題的數(shù)學(xué)模型，

5.一元一次不等式組，

如果問題中的某個量同時滿足幾個不等關(guān)系，那么這個量就應(yīng)同時滿足幾個不等式，這幾個不等式組成一個不等式組，其中各個不等式的解集的公共部分就是這個量的取值范圍，例如，現(xiàn)有兩根長度分別為4cm和6cm的小棍，要再找一根小棍，將它們首尾順次相接擺成一個三角形。則這根小棍的長度既要大于另兩根小棍的長度之差，又要小于另兩根小棍的長度之和，如果設(shè)這根小棍的長度為xcm，則可用數(shù)學(xué)形式表示為不

解由幾個一元一次不等式組成的不等式組的方法，是“先各個擊破，再取其交集”，即先分別解每個不等式，再找出各個解集的公共部分，以此作為不等式組的解集，例如，解得到它們的解集分別是x>2和x<10，再取這兩個解集的公共部分，得到2

因為每個二元一次不等式的解集都可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，所以利用數(shù)軸可以直觀地發(fā)現(xiàn)各個解集的公共部分，如圖4。將x>2和x<10表示在同一條數(shù)軸上，它們的公共部分2

解由三個或更多個一元一次不等式組成的不等式組，所用的方法仍是“先各個擊破，再取其交集”，只是要解的不等式更多些，找各個不等式的解集的公共部分時更復(fù)雜些而已。

不等式組是表示多個同時存在的不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并非每個不等式組都有解集，如果一個不等式組中各個不等式的解集不存在公共部分。則這個不等式組無解，例

等式（包括方程）是研究相等關(guān)系的重要工具，而不等式則是研究不等關(guān)系的重要工具，同學(xué)們掌握了不等式的有關(guān)知識后，就可以更好地分析和解決含不等關(guān)系的問題，方程（組）與不等式（組）之間既有差別，又有聯(lián)系，對它們加以比較。既有助于溫故知新。又能更好地認(rèn)識數(shù)學(xué)知識體系。