不等關(guān)系與相等關(guān)系其實(shí)是統(tǒng)一的

劉帥　孔凡哲

與方程一樣，不等式也是表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，是反映客觀事物變化規(guī)律及其關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

不等式（組）是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之

，具有承上啟下的作用，它上承一元一次方程、二元一次方程組，下接一次函數(shù)等內(nèi)容，不等關(guān)系與相等關(guān)系其實(shí)是統(tǒng)一的，二者不僅都是刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系的有效模型，而且可以互相轉(zhuǎn)化。

一.體會(huì)現(xiàn)實(shí)世界中的不等關(guān)系

在大千世界中，量與量之間的關(guān)系是由相等關(guān)系和不等關(guān)系構(gòu)成的，在方程的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)會(huì)了用相等關(guān)系解決生活、工作巾的諸多問(wèn)題，其實(shí)，小等關(guān)系也是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的有效模型，不同的是，相等關(guān)系刻畫(huà)的是“靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系”，不等關(guān)系刻畫(huà)的是“動(dòng)態(tài)的數(shù)量關(guān)系”。

下面，讓我們來(lái)看看交通中常見(jiàn)的不等關(guān)系。

限速，如同l（1），該圖標(biāo)的意思是速度不可越過(guò)10km/h，即V≤10km/h；如圖l（2），該圖標(biāo)的意思是速度不可低于50km/h，即V≥50km/h.

限高，如圖1（3），該圖標(biāo)的意思是車的總高度不可超過(guò)3m即h≤3m，

限重，如圖1（4），該圖標(biāo)為電梯的標(biāo)識(shí)牌，表示此電梯的載重量不可超過(guò)l000kg，即G≤1000kg，人數(shù)不可以超過(guò)15，即N≤15。

在限速120km/h的高速公路上，按照規(guī)定正常行駛的汽車，其行駛速度儀存一些時(shí)刻等于120km/h，而在更多的時(shí)刻是不等于120km/h的，也就是說(shuō)，等于120km/h是靜態(tài)的、短暫的，而不等于120km/h是動(dòng)態(tài)的、持久的.

不僅交通中存在大量不等關(guān)系，生活中的許多方面，諸如食品安全、購(gòu)物、建筑等，也存在著大量不等關(guān)系。

建議你在課余時(shí)間，與同學(xué)一起去觀察、發(fā)現(xiàn)，并且可以用簡(jiǎn)單的不等式將小等關(guān)系表示出來(lái)！

二.不等關(guān)系與相等關(guān)系的統(tǒng)一性

不等關(guān)系與相等關(guān)系是普遍存在的，不等關(guān)系與相等關(guān)系具有內(nèi)在的必然聯(lián)系，也可以說(shuō)是統(tǒng)一的。

對(duì)于典型的不等關(guān)系a>b，如果我們?cè)O(shè)c=a-b，那么，不等關(guān)系a>b就與相等關(guān)系a=b+c等價(jià)，其中，c是一個(gè)正數(shù)，

更進(jìn)一步說(shuō)，a>b等價(jià)于“存在一個(gè)正數(shù)c，使得a=b+c”，a≥b等價(jià)于“存在一個(gè)非負(fù)數(shù)c，使得a=b+c”

利用上面的等價(jià)關(guān)系，可以輕松地將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系，

例如，對(duì)于“如果a>b，那么，對(duì)于數(shù)c，有a+c>b+c”，可以這樣證明：

如果存在一個(gè)正數(shù)d，使得a=b+d，那么，對(duì)于數(shù)c，有a+c=b+d+c=（b+c）+d，這意味著，存在一個(gè)正數(shù)d，使得a+c等于b+c與d的和，從而，a+c>b+c，

三.在建立不等式過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)建模思想

購(gòu)物是我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中不可或缺的活動(dòng)之一，為了吸引更多人到商場(chǎng)購(gòu)物，賣家經(jīng)常會(huì)設(shè)計(jì)各種各樣的促銷活動(dòng)，究竟哪種方案最優(yōu)惠呢？我們一起用不等式模型來(lái)分析一下！

例某商店5月1日舉行促銷優(yōu)惠活動(dòng)，當(dāng)天到該商店購(gòu)買商品有兩種方案，

方案1：用168元購(gòu)買會(huì)員卡成為會(huì)員后，憑會(huì)員卡購(gòu)買商店內(nèi)任何商品，一律按商品價(jià)格的八折優(yōu)惠。

方案2：若不購(gòu)買會(huì)員卡，則購(gòu)買商店內(nèi)任何商品。一律按商品價(jià)格的九五折優(yōu)惠，

已知小敏5月1日前不是該商店的會(huì)員，

（1）若小敏不購(gòu)買會(huì)員卡，所購(gòu)買商品的價(jià)格為120元時(shí)，實(shí)際應(yīng)支付多少元？

（2）請(qǐng)幫小敏算一算，所購(gòu)買商品的價(jià)格在什么范圍內(nèi)時(shí)，采用方案l更合算？

解析：（1）120×0.95=114（元），

（2）第一，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系，方案1所花錢數(shù)不高于方案2所花錢數(shù)。

第二，用不等式表達(dá)不等關(guān)系，

購(gòu)買商品的價(jià)格×方案1的折扣<購(gòu)買商品的價(jià)格×方案2的折扣，

第三，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)不等關(guān)系，

第四，用含有未知數(shù)的不等式表達(dá)不等關(guān)系，

設(shè)購(gòu)買商品的價(jià)格為x元，由題意得：

0.8x+168<0.95x，

將0.8x移項(xiàng)并與0.95x合并，得O.15x>168。將未知數(shù)的系數(shù)化為l，得x>l120，

所以，當(dāng)購(gòu)買商品的價(jià)格超過(guò)l120元時(shí)，采用方案1更合算，

經(jīng)歷了上面的分析過(guò)程，相信你會(huì)利用不等式這一數(shù)學(xué)模型解決優(yōu)惠方案這類問(wèn)題了，今后遇到類似的問(wèn)題時(shí)，要注意選擇最優(yōu)惠的方案喲！