數學建模三部曲

李浩 程勁松

一、創設情境，感知數學建模

數學建模教學過程的重點是創設一種生動活潑、輕松愉快的學習氣氛，通過引入與現實生活密切相關的實例來激發學生建模的興趣。因此，教師上課時，要多結合生活實際，把學生所熟悉的生活實例作為教學的問題情境，讓學生在形成一些簡單的數學模型的過程中，感受數學知識的形成過程，并能用數學模型進行一些簡單的解釋與應用。

師：每位同學都有一雙靈巧的小手，它不僅會寫字、畫畫、干活，而且在它里面還藏著有趣的數學知識，你想了解它嗎？請舉起你的右手，并將五指張開，數一數，張開后有幾個空格？

生1：4個。

師：在數學上，我們把這個空格叫“間隔”。（課件顯示）我們把五指張開，有4個空格，也就是4個間隔。每兩個手指之間就有一個間隔。生活中，你見過這樣的間隔嗎？

生2：在馬路邊種樹，每兩棵樹之間有一段距離，也是間隔。

生3：樓梯的臺階也有間隔。

師：看來生活中許多地方都有這樣的間隔。現在我們學校為了進一步美化校園環境，準備從同學們當中招聘幾名校園環境設計師，要求設計植樹方案一份，擇優錄取。想成為我們校園的環境設計師嗎？我們一起來看看設計的具體要求吧！

教師從學生真實的生活中挖掘素材，讓學生了解間隔的含義，讓學生設計植樹方案，這樣創設情境，不僅拓展了學生思維的空間，給課堂注入了生機與活力，而且讓學生體會到只要處處留心，用數學的眼光去觀察生活，就能發現在生活中蘊涵的許多數學規律。

二、自主探究，建構數學模型

從心理學角度分析，知識的獲得是一種主動的認知活動，學習者不應是信息的被動接受者，而應該是知識獲取過程中的主動參與者。因此，在教學中，教師應盡量多為學生提供探究的時間和空間，讓學生在動手操作、親身體驗、交流思考、解決問題中培養建模興趣、建模意識和初步的建模方法。

讀準題意，找出相關數學信息。課件出示例1：在長100米的小路上，每隔5米栽一棵樹，一共要栽多少棵（兩端都栽）？學生讀題后指出：“每隔5米栽一棵”就是指每兩棵之間的距離都是5米，每兩棵樹之間的距離也叫做間隔長度，也可以說成“兩棵樹之間的間隔是5米”。“兩端都栽”說明不是一頭栽，一頭不栽。

動手操作，發現存在問題。學生想到了用畫線段圖的這一直觀的方式來呈現，在線段起點處畫上一個樹的象征物，每隔五米再畫一棵，這樣畫下去，他們發現太麻煩、太浪費時間了。

小段分解，找出植樹規律。一棵一棵種到100米確實太麻煩了。是不是可以先選取100米中的一小段來研究？如，先用20米來研究，用一條線段表示20米，每隔5米栽一棵，也就是說樹有間隔是5米。20米共有4個這樣的間隔，兩端都栽，可以栽5棵樹（如下圖）。

[＼&＼&＼&＼&][5米][5米][5米][5米]

如果這條路長30米，35米……又應栽幾棵樹呢？學生拿出學習紙，畫線段圖并填寫表格。

以上教學讓學生經歷觀察、操作、探究、反思等活動過程，并從中學習到一些解決問題的方法和策略。在解決問題時，我們可以先給出一個猜測，再驗證這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗，并且可以從操作方便的“一小段”中發現棵數與間隔數之間的數量關系，建立植樹問題的數學模型，然后運用模型解決實際問題。這樣，讓學生在親身經歷中逐步體會數學知識的產生、形成與發展的過程，獲得積極的情感體驗，感受數學的力量。

三、解決問題，應用數學模型

建立數學模型的目的是更好的描述自然現象和社會現象，讓學生能體會到數學模型的實際應用價值。其實植樹問題并不只是與植樹有關，生活中還有許多現象和植樹問題相似：人民大會堂上的柱子；做操時每隊的人數；公路上的路燈、彩旗等等，它們中都藏著總數和間隔數之間的關系問題，統稱為“植樹問題”。

教師引導學生開展進一步拓展訓練。請看基本練習：為了迎接國慶節，學校計劃在200米長的小路一邊插上彩旗，每隔4米插一面，（兩端都要插）一共需要幾面彩旗？學生可直接套用規律。拓展練習：5路公共汽車從起點開出，行駛路線全長12千米，正好有13個車站。相鄰兩站的距離是多少千米？需要利用原規律進行一定推算。拔高延伸：跨欄起點至第一欄的距離為13.72米，中間共有10個欄，欄間距離為9.14米，最后一欄至終點的距離是14.02米，你們知道從起點跑到終點是多少米嗎？這是原有模型的一個變式，考查學生的言語理解能力和模型轉換技巧。

這一環節主要是讓學生用數學模型來解決生活中的實際問題，努力體現一種“人人學有價值的數學“的價值取向。在學生從具體生活中抽象出數學現象后，又再一次讓學生運用規律解決形式各異的生活問題，使學生體會到數學知識的具體運用，體驗到運用數學模型處理問題的優越性，從而深刻地感受到數學的價值與魅力。