基于MATLAB圖形界面研究李薩如圖形及其討論

劉斯禹 韓雪 郭天超

摘 要：本文對應用MATLAB計算機語言編寫李薩如圖形演示軟件進行了研究，在介紹了李薩如圖形形成機理的基礎上，編寫了用于演示李薩如圖形的圖形用戶界面，實現了直接輸入振動參數，直接繪圖得功能；并且可以直接對比有無阻尼的李薩如圖形的對比。直觀地分析出各參量的變化對于結果的影響與理論分析相吻合，并總結了李薩如圖形的實際應用。圖形用戶界面可以有效地應用于教學之中。

關鍵詞：李薩如圖形 MATLAB 圖形界面 頻率比 相位差

中圖分類號：O32 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）2（c）-0000-00

當兩個互相垂直的簡諧振動相耦合時，振動將為兩個振動的疊加，其結果比一維振動復雜得多。如果這兩個互相垂直的簡諧振動頻率相同，則合成的總振動可形成橢圓曲線，一些極端情況下還可能形成圓或直線；若兩個簡諧振動頻率不同，且頻率比為整數比，則合振動可形成封閉曲線，稱為李薩如圖形。若振動頻率比不為整數，則合成的總不能形成穩定的圖案。而兩個振動的頻率比、初相位、相位差這些因素均會影響合振動的軌跡形狀。將李薩如圖形繪制出來則可以比較直觀地看出這些因素如何影響軌跡形狀。MATLAB是美國Math Works公司的軟件產品，是一個高級的數值分析、處理及計算軟件；本文采用MATLAB為工具，并編寫圖形用戶界面以繪制不同參數條件下的李薩如圖形，進一步討論以上提及的多種因素對垂直簡諧振動合成的影響以及實際的應用。

1 基于MATLAB的李薩如圖形演示

1.1 李薩如圖形的形成

李薩如圖形中的點是兩個振動方向互相垂直的簡諧振動的疊加，都可以用以下的公式表示：

由以上公式可以看出，李薩如圖形本質上是一個質點同時在X軸和Y軸上振動而形成的，其合成交點的運動軌跡就是李薩如圖形。但是，如果這兩個相互垂直的振動的頻率為任意值，那么它們的合成運動就會比較復雜，而且軌跡是不穩定的。然而，如果兩個振動的頻率成簡單的整數比，這樣就能合成一個穩定、封閉的曲線圖形，這就是李薩如圖形 [1] 。

1.2 李薩如圖形演示圖形用戶界面

本文利用MATLAB語言編寫了李薩如圖形演示圖形用戶界面，剛打開界面時的狀態如圖1所示 。在該圖左側有四個動態文本框，從上到下分別獲取阻尼系數，水平方向振動方程的振幅，頻率，初相。中間有兩個按鈕和三個動態文本框，三個動態文本框從上到下分別獲取豎直方向振動方程的振幅，頻率，初相。按鈕的作用分別是繪圖和復位，并在圖片下方的兩個名為“水平方程”，“豎直方程”的靜態文本框中顯示出兩個垂直方向分運動的方程。圖片右側為兩個坐標軸，上方的坐標軸繪制無阻尼的李薩如圖形，下方的坐標軸繪制考慮阻尼系數的李薩如圖形。在該圖中，我們可以清晰地看到有無阻尼系數的李薩如圖形的對比。點擊plot繪圖，得到圖2。

1.3 有無阻尼的李薩如圖形對比

以下，我們將對不同頻率比，不同相位差的李薩如圖形進行對比研究其性質。繪制出部分圖像見表1。從表中的對比可以明顯看出有無阻尼的李薩如圖形在軌跡上大致走向相同。而不同點在于，廣義李薩如曲線隨著時間的衰減使其最終歸到原點后停止，圖像將不是封閉曲線，也不像無阻尼李薩如圖形一樣具有明顯的對稱性。

在實際情況中，通常都存在著阻尼現象，因此有必要掌握廣義李薩如圖形的特征，以了解實際情況中的振動參數。

2 李薩如圖形的應用

通過研究李薩如圖形的特征性的圖像可以得知兩個互相垂直的簡諧振動的振動參數，因而在測量振動頻率等方面具有重要價值[3]。可以通過李薩如圖形的走向判斷兩分振動的頻率比，通過頻率比可由已知頻率測量未知頻率，利用這種方法可進行兩正弦電壓相位差的測量可達到很高的精確度。音叉頻率的測量也是利用這個原理，即用信號發生器產生一個分運動，并不斷調節其運動頻率，直到合成運動是直線、橢圓或者圓，則音叉的頻率就和此時的信號發生器產生的頻率相同[4]。還可以利用李薩如圖形驗證普通物理教學中“相互垂直的兩個簡諧振動的合成運動”[5]。利用李薩如圖形來檢測力平衡式加速度傳感器的動態特性[2]。

3 結語

（1）利用MATLAB作為仿真平臺可以制作圖形用戶界面有效地模擬互相垂直不同頻率的兩個簡諧振動的合成，并繪出李薩如圖形。

（2）無阻尼的李薩如圖形具有周期性、對稱性。

（3）有阻尼振動的廣義李薩如圖形具有縮減性、非對稱性等特點，在研究實際問題時有很大的意義。

（4）物理學是一門實驗性很強的學科，其理論是建立在實驗的基礎之上的[6]。由于實驗條件有限，物理學中的許多內容無法在課堂上直接用實驗來進行驗證，給學生對理論的理解帶來了一定的困難。所以對物理實驗的仿真十分適用于物理課堂。它形象生動，感染力強。有利于講清概念，有助于我們理解和記憶。

（5）通過制作了本文中的圖形用戶界面，可以方便快捷地研究有無阻尼的李薩如圖形，直接地對比其差別；圖形用戶界面也方便應用于課堂教學中。

參考文獻

[1] 黃光.基于MATLAB的李薩如圖形演示及其應用[J].中國科技信息，2008（2）：85-85.

[2] 石涵.用Matlab研究李薩如圖形及其討論[J].物理與工程，2009，19（1）：64-67.

[3] 易其順，蔣志年，閉劍鋒.利用李薩如圖形測量音叉的頻率[J].大學物理實驗，2005，18（4）：36-37.

[4] 谷曉琪，周修文，霍虎，等.基于MATLAB的簡諧振動合成圖形的動態演示[J]. 電子測試， 2013（6）：40-43.

[5] 白生華，張克復.兩個相互垂直不同頻率簡諧振動合成的探討——用微機研究李薩如圖的嘗試[J].大學物理，1988（8）.

[6] 趙亞軍，丁振瑞，丁文革，等.自制熱機能量轉化演示儀[J].物理，2010（3）：60-62.