對邏輯曲線的參數(shù)進行最小二乘估計的討論

方茁

[摘 要] 以往對邏輯曲線y=

L 1+ae-bx

中參數(shù)L，a，b的估計往往是基于一定的經(jīng)濟意義或生物統(tǒng)計的背景，但從純粹的數(shù)學(xué)方程角度來看，當(dāng)L，a，b的取值范圍不加任何限制時，是否也能估計出L，a，b呢？文章證明了當(dāng)（L，a，b）

∈R3

時，y=

L 1+ae-bx

中參數(shù)L，a，b不能用最小二乘法估計，并給出了其參數(shù)在一定的限制條件下，可以用最小二乘法估計.

[關(guān)鍵詞] 邏輯曲線 參數(shù) 最小二乘估計

[中圖分類號] G633.6 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1674 6058（2016）17 0049

一、引言

基于殘差平方和最小的思想，最小二乘法已在社會生產(chǎn)和實踐中得到了廣泛的應(yīng)用.在解決非線性回歸模型的參數(shù)估計問題時，我們往往將其轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，進而用最小二乘法估計出其參數(shù)，但有的模型并不能通過直觀的觀察和簡單的計算就能轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，也就談不上用最小二乘法估計其參數(shù)了.這就引發(fā)了我們對非線性回歸模型的參數(shù)是否能用最小二乘法估計的沉思，如常見的邏輯曲線y=

L 1+ae-bx

（（L，a，b∈R3）），其參數(shù)L，a，b能否用最小二乘法的思路估計出或至少能被確定屬于一定的范圍呢？這就是本文所要研究的重點.

二、猜想

任意取n個不同的樣本（xi，yi），i=1，2，…，n.只要樣本中不含用（0，y（0））；那么邏輯曲線y= L 1+ae-bx （（L，a，b）∈R3）的參數(shù)L，a，b就不能用最小二乘法估計出且不能估出（L，a，b）屬于R3中某一真子空間，即無法確定（L，a，b）∈H，HR3.

三、證明

假設(shè)用最小二乘法可以估計出（L，a，b），盡管（L，a，b）并不一定唯一，即（L，a，b）也可屬于R3中一真子空間.

第一步，觀察y= L 1+ae-bx ，

∵（xi，yi）可取n個不同的樣本，

∴可推斷出L的估計，L≠0.

第二步，（Ⅰ）y= L 1+ae-bx （*）兩邊同時對x求導(dǎo)，得

dy dx =by（1-

y L

）

，其中，y（0）=

L 1+a

（**），

∴參數(shù)（L，a，b）的估計若滿足（*）式，則也滿足（**）.

（Ⅱ）考查微分方程y= L 1+ae-bx ，y（0）= L 1+a （**）.

令f（x，y）=by（

1- y L ）

，取R3平面上一區(qū)域D：|x| ≤h1|y|≤h2.

不難發(fā)現(xiàn)：f（x，y）在D上連續(xù)，且

|f（x1，y1）-f（x2，y2）|= 1 L |bL

（y1-y2）

-b（y21-y22）|≤

b|y1-y2|+2

bh2 L

|y1-y2|=（b+2 bh2 L ）|y1-y2|.

故f（x，y）在D上滿足Lipschitz條件.

∴由常系數(shù)微分方程的解存在唯一性定理知，（**） 式滿足y（0）= L 1+a 的解在|x|≤h上存在且唯一.

這里的h=min{h1，h2}，M=max|f（x，y）|，（x，y∈D）.

（Ⅲ）現(xiàn)在解（**）式：

1）觀察f（x，y），得：y=0或y=L為（**）的解.

2）在f（x，y）中，令z= 1 y ，則

dz dx =

dz dy × dy dx =

- 1 y2 · b L y（L-y）

=-bz+

b L .

（1）

再令z=c（x）e-bx，則

dz dx =

dc（x） dx e-bx-

be-bxc（x）

= dc（x） dx e-bx

-bz. （2）

比較（1）（2）得： dc（x） dx = b L ebx.

利用變量分離法，求得：c（x）= 1 L ebx

+C，C為任一常數(shù).

∴y= 1 z =

1 c（x）

ebx=

L ebx+CL ebx=

L 1+CLe-bx .

（3）

將y（0）=

L 1+a

代入（3），得：C= a L .

∴y= L 1+ae-bx .

綜上，（**）式的解為y=0或L或 L 1+ae-bx .

但由（Ⅰ）知，樣本（xi，yi）對（**）式中參數(shù)L，a，b的估計問題同樣適用.故實際操作中，由于n個樣本（xi，yi）是不同的，所以y=0，L要排除.

綜合（Ⅱ）（Ⅲ）知，在整個實數(shù)域 R 上，（**）式的解都是存在參數(shù)（L，a，b）作最小二乘估計.

第三步，多元線性回歸方程的一般形式是y=β0+β1x1+…+βpxp，不失一般性，總可以設(shè)β0=0.因為可以形式上引入自變量x0=1，所以在理論研究時，可以假設(shè)多元線性回歸模型的形式為y=β1x1+…+βpxp.

由假設(shè)知，y= L 1+ae-bx 中參數(shù)a，b可作最小二乘估計，故y= L 1+ae-bx 必可劃為線性回歸形式：g（x，y）=p（L）u（x，y）+q（a）u（x，y）+h（b）w（x，y）.（4）

由于我們是先估計出p（L），q（a），h（b）后，利用L=p（L），

q（a）=q（a），h（b）=h（b），進而估計出，L，a，b的，所以（4）式與y= L 1+ae-bx 實質(zhì)上對L，a，b的估計并沒有任何區(qū)別.

故不妨設(shè)y= L 1+ae-bx 可劃為y=Lx1+ax2+bx3（5）.

（5）式中，殘差θi=

（yi-Lxi1-axi2-bxi3）=（L，a，b）xx′（Lab）-2y′x（Lab）+y′y.

其中，x=x11x22…xnn，y=y1y2…yn，

∴2xx′（Lab）-2x′y=0.

由假設(shè)知，L，a，b可用最小二乘估計出：若（L，a，b）唯一，則r（xx′）=3；若（L，a，b）不唯一，則（L，a，b）屬于R3中一真子空間，此時r（xx′）=1或2.

綜上，由假設(shè)得到r（xx′）>0.

第四步，由第二步知，對y= L 1+ae-bx 中參數(shù)L，a，b的估計等價于對 dy dx

=by（1- y L ），y（0）= L 1+a 中參數(shù)L，a，b的估計.

分析后者，我們發(fā)現(xiàn)通過樣本（xi，yi）至多只能直接估出b，L，而a與樣本（xi，yi）并沒有直接關(guān)系，它只與y（0）有直接聯(lián)系，a= L y（0） -1（∵由第一步知，L≠0，∴y（0）= L 1+a ≠0）.

但實際的樣本數(shù)據(jù)中，由于（0，y（0））并未給出，故y（0）的取值范圍為R＼{0}.

現(xiàn)任意取定L，b，一方面殘差θ退化為只含a的二次函數(shù)，即r，s，t∈R1→θ=θ（a）=ra2+sa+t，

則a的估計值必須滿足θ′（a）=0.即2ra+s=0. （6）

另一方面，a=

L y（0）

-1，由L≠0，y（0）的取值范圍為R＼{0}，得到a的取值范圍為R＼{-1}，故R＼{-1}中任一點都可作為a，顯然也要滿足（6）式.

∴r=s=0，

∴θ（a）=t為常數(shù)，故殘差θ與a無關(guān).

同理，任意取定a，b，也可得到殘差θ與L無關(guān).

故殘差θ至多與b有關(guān).

如果θ與b有關(guān)，則θ=θ（b），即y= L 1+ae-bx 可轉(zhuǎn)化為線性回歸形式，g（x，y）=h（b）w（x，y）；但前式含有3個參數(shù)L，a，b，后式只含有1個參數(shù)b，顯然，這種轉(zhuǎn)化不成立.

故殘差θ=t為常數(shù).

反饋到第三步，可知此時的xx′=03×3，即r（xx′）=0，與假設(shè)得到的r（xx′）>0矛盾.

∴原假設(shè)不成立，故猜想成立.

證畢.

四、總結(jié)與歸納

盡管L，a，b在非限制條件下，y= L 1+ae-bx 中的參數(shù)L，a，b不能用最小二乘法估計，但在實際經(jīng)濟模型或生物統(tǒng)計模型中，L，a，b往往具有特殊的經(jīng)濟含義和現(xiàn)實意義.我們可以用其他方法先估計出L或b等，然后再利用最小二乘法估計剩余的兩個參數(shù).比如，著名的Logistic人口發(fā)展模型y= L 1+ae-bx 中的參數(shù)L代表自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量，我們可以先根據(jù)生態(tài)學(xué)的知識預(yù)測出L，然后將y= L 1+ae-bx 轉(zhuǎn)化為線性回歸形式，即

-bx+lna=ln（ L y -1）

，再利用不同年份的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)和最小二乘法估計出a，b.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王高雄.周之銘等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 陳家鼎，孫山澤等.數(shù)量統(tǒng)計學(xué)講義[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] 吳梅村.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)基本原理和方法[M].成都：西南財經(jīng)大學(xué)出版社，2006.

（特約編輯 嘉 卉）