均勻帶電球面和載流柱面上場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算

田寶國 宿德志 李慧

摘 要：對(duì)于均勻帶電球面上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和無限長(zhǎng)均勻載流柱面上一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度問題，無法采用教材中常用的靜電場(chǎng)高斯定理和磁場(chǎng)安培環(huán)路定理求解，該文分別用電場(chǎng)和磁場(chǎng)疊加原理進(jìn)行了求解，得到了該問題的具體表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：均勻帶電球面 均勻載流柱面 高斯定理 安培環(huán)路定理 疊加原理

中圖分類號(hào)：O411 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）02（c）-0159-02

在求解均勻帶電球面上電場(chǎng)強(qiáng)度分布時(shí)，一般都是通過靜電場(chǎng)的高斯定理求解，但是對(duì)于理想的均勻帶電球面來講，這種方法只能求出球面內(nèi)部和外部的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，而對(duì)于球面上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，由于無法確定高斯面內(nèi)電荷分布而無法利用高斯定理求解，對(duì)兩邊取極限的方法也無法求出，有些教材只指出在球面上場(chǎng)強(qiáng)值不連續(xù)或有一突變[1，2]，但并沒給出具體值。同樣，在求解無限長(zhǎng)均勻載流柱面磁感應(yīng)強(qiáng)度分布時(shí)，一般都是磁場(chǎng)安培環(huán)路定理求解，而對(duì)柱面上一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，這種方法也同樣由于無法確定環(huán)路包圍的電流強(qiáng)度大小而無法求解，該文對(duì)這兩個(gè)問題分別采用場(chǎng)疊加原理進(jìn)行了計(jì)算。

1 均勻帶電球面上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

圖1為一半徑為的均勻帶電球面，帶電量為，根據(jù)電場(chǎng)的高斯定理，可求得球面內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分布為[3]：

該結(jié)論并沒有給出球面上任一點(diǎn)（即）處的電場(chǎng)強(qiáng)度，原因在于對(duì)理想的均勻帶電球面，利用高斯定理求解該位置處電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，無法確定高斯面內(nèi)包圍的電荷量。該問題可通過疊加原理進(jìn)行求解。為求球面上任一點(diǎn)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，建立圖示的坐標(biāo)系，并將球面分割為無數(shù)多個(gè)半徑不同的無限窄的環(huán)帶，在坐標(biāo)處、取高度為的環(huán)帶如圖1所示，環(huán)帶面元面積為：

所帶電量為：

根據(jù)帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)公式可得所取環(huán)帶在點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小。

由于各環(huán)帶在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度方向均沿軸正方向，所以整個(gè)球面在點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

利用幾何關(guān)系及可得點(diǎn)總場(chǎng)強(qiáng)：

與球面內(nèi)外場(chǎng)強(qiáng)分布比較可知，該處場(chǎng)強(qiáng)發(fā)生了一突變。

2 無限長(zhǎng)均勻載流柱面上一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度

圖1所示示為一半徑為、電流沿軸向均勻分布的無限長(zhǎng)圓柱面的截面圖，總電流強(qiáng)度為，根據(jù)磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理，可得柱面內(nèi)外的磁感強(qiáng)度分布為[3]：

為求柱面上任一點(diǎn)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，建立圖1所示的坐標(biāo)系，且將柱面分割為無數(shù)多條截面為圓弧的無限長(zhǎng)直線，在圖示截面θ處取所對(duì)圓心角為θ的無限長(zhǎng)直線，點(diǎn)到直線的距離為，所取直線中流過的電流強(qiáng)度大小為：

根據(jù)無限長(zhǎng)載流直線空間磁感應(yīng)強(qiáng)度分布公式可知，該直線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖2，大小為：

根據(jù)幾何關(guān)系可得：

通過電流分布的對(duì)稱性分析可知，點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度無徑向分量，因此，只需對(duì)B的切向、即圖中的方向進(jìn)行積分，B的方向分量為：

根據(jù)幾何關(guān)系和可得

故：

因此，根據(jù)磁場(chǎng)疊加原理可得柱面上任一點(diǎn)點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小為：

方向沿切向。與面內(nèi)面外磁感強(qiáng)度分布比較可知，該處磁感強(qiáng)度也發(fā)生了一突變。

3 結(jié)語

該文分別通過電場(chǎng)和磁場(chǎng)的疊加原理，求解了均勻帶電球面和無限長(zhǎng)均勻載流柱面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，豐富補(bǔ)充了教材結(jié)論，使學(xué)生對(duì)這類問題中面內(nèi)、面上、面外的場(chǎng)分布有了整體認(rèn)識(shí)。另外也可以通過該方法求出均勻帶電球體和無限長(zhǎng)均勻載流柱體上表面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布，在此不再給出具體過程，通過求解結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這兩類問題的空間電場(chǎng)分布和磁場(chǎng)分布都是連續(xù)分布，不會(huì)在面上發(fā)生突變。

參考文獻(xiàn)

[1] 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學(xué)[M].北京：高等教學(xué)出版社，2004：21-22.

[2] 張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003：349-350.

[3] 馬文蔚，周雨青.物理學(xué)[M].6版.北京：高等教學(xué)出版社，2014：179-180.