用乘法解數(shù)字搭配問題

楊國義

解決數(shù)字搭配問題，通常采用分類列舉的方法找答案。但遇到給出的數(shù)字和組數(shù)的位數(shù)較多時，分類列舉就比較麻煩了。怎么辦呢？請看：

例1 用1、3、5、7這四個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

【分析與解】這是一個較簡單的數(shù)字搭配問題，它與數(shù)字的排列順序有關(guān)，屬于排列問題（組合問題與順序無關(guān)）。為了防止重復(fù)或遺漏，一般通過有序地分析找答案。可以按從大到小，從高位到低位的順序，通過分類列舉求解。

（1）百位上是7的三位數(shù)，通過逐一列舉可以得到：753、751、735、731、715、713，共6個。

（2）百位上是5的三位數(shù)有：573、571、537、531、517、513，共6個。

（3）百位上是3的三位數(shù)也有6個，分別是375、371、357、351、317、315。

（4）百位上是1的三位數(shù)也有6個，分別是175、173、157、153、137、135。

所以，用1、3、5、7這四個數(shù)字，可以組成6=24（個）沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

像這種數(shù)字搭配問題，也可以用乘法原理巧解。乘法原理：用幾個數(shù)字組成不同的三位數(shù)，要分三步，第一步確定百位上的數(shù)字，有m1種不同的方法；第二步確定十位上的數(shù)字，有m2種不同的方法；第三步確定個位上的數(shù)字，有m3種不同的方法，那么可以組成的不同三位數(shù)一共有m1譵2譵3個。

回頭看上題，用4個數(shù)字組沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，分三步：（1）確定百位上的數(shù)字，可以從4個數(shù)字中任選一個，有4種選法；（2）確定十位上的數(shù)字，可以從剩下的3個數(shù)字中任選一個，有3種選法；（3）確定個位上的數(shù)字，從剩下的2個數(shù)字中選一個，有2種選法。所以，一共能組成4？？=24（個）無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，與前面的分類列舉結(jié)果相同。很明顯，用乘法解較復(fù)雜的數(shù)字搭配問題比較簡便。

例2 用 0 、 2 、 4 、 6 、 8 這五張卡片，可以組成多少個不同的三位數(shù)？不同的四位數(shù)呢？

【分析與解】用數(shù)字卡片組成不同的三位數(shù)要分三步：（1）確定百位上的數(shù)字，可以從0除外的4個數(shù)字中任選一個，有4種選法；（2）確定十位上的數(shù)字，可以從剩下的4個數(shù)字中任選一個，有4種選法；（3）確定個位上的數(shù)字，從剩下的3個數(shù)字中選一個，有3種選法。所以，一共能組成4？？=48（個）不同的三位數(shù)。

用數(shù)字卡片組成不同的四位數(shù)，相當于在組三位數(shù)的基礎(chǔ)上再增加第四步：從剩下的2個數(shù)字中選一個，有2種選法。所以，一共能組成4？？？=96（個）不同的四位數(shù)。

聰明的小讀者，用乘法解數(shù)字搭配問題你學(xué)會了嗎？下面請你來試試吧。

【小試身手】用0～9這十個數(shù)字，一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)呢？