由一道分數應用題引發運用線段圖表征數學問題的思考

馮冠聰

學生解決問題的思維過程，就是首先將數學問題重新表征，然后確定解題思路，進而執行解題方案。多項研究表明：要能正確解決問題，問題表征能力和問題表征質量是數學問題解決的重要因素。關于表征數學問題的方法，不少教育工作者總結頗多，如分析法、綜合法、線段圖法、示意圖法、列表法……有的方法傾向于運用數字語言來表征數學問題，有的方法則傾向于數形結合表征數學問題。

小學生以具體形象思維為主，并逐步向抽象邏輯思維過渡，運用線段圖表征數學問題，有利于直觀構造數學模型，有利于數量關系明朗化。那么小學階段如何在表征數學問題過程中構造線段圖，以利于解決問題？筆者以分數應用題為例，就學生畫線段圖時存在的問題進行分析，探討運用線段圖重新表征數學問題的教學策略（本文所指的問題解決具體指反映數量關系的應用題）。

一、運用“形”表征數學問題中學習障礙

小學生在解決數學問題中常用畫圖（畫示意圖、畫線段圖等）的方法表征問題，解決問題。盡管圖的直觀能輔助學生理解數學問題，但如何由文字符號轉換為操作符號、圖形符號，學生存在不少障礙，下面以一道分數應用題教學為例，探討學生運用線段圖表征問題的障礙。

數學問題：小明的體重是35kg，小明體重比爸爸輕，爸爸體重是多少千克？

學生畫圖錯例如圖1、圖2。

分數應用題的數量關系的本質是整數應用題中倍數關系的延伸。由此，分數應用題的特點是題目中呈現兩個相關聯的數量，以及反映這兩個數量之間關系的分率句，如 “小明體重比爸爸輕”，在小學數學教學中常被稱為分率句。

圖1錯誤在于學生只把已知信息呈現在線段圖上，要求的問題沒有在線段圖上呈現。一個良好的數學問題包含有不同的數量，既有已知數量，也有未知數量，分析數學問題的最終目的是尋找如何由已知數量達到未知數量的數學路徑。運用線段圖把相關“數量”與“形”建立對應關系，不同數量用不同線段表示，運用“形”的直觀尋找已知數量與未知數量之間的關系，從而轉化成數學模型解決問題。而圖1線段圖由于缺少了未知數量，數量關系存在多樣性和不確定性，未能真正運用“形”解決問題。

圖2 學生作圖時把小明體重看做兩量比較的標準（分數應用題教學中習慣將比較標準稱為“單位1”），且把“小明體重比爸爸輕”轉化為“爸爸體重比小明重”。根據對學生訪談中獲知，學生作圖時是根據閱讀的順序逐一將已知信息呈現，并且受到兩數量相差關系的負遷移，簡單地將分率句進行轉化。殊不知比較兩量倍或比率關系時，當比較標準變了，比較的倍或比率也會變。如黃花是紅花的3倍，則紅花是黃花的；小明體重比爸爸輕，則爸爸體重比小明重。由此可見，比較的標準變了，與之比較的另一數量的關系也會隨著變化。更深層看待學生的錯誤轉化問題，究其原因，學生未能掌握兩數量關于相差和倍比關系的聯系與區別。在兩數量的比較時，先確定比較的標準，以標準確定另一數量與之關系，因此在作圖時，首先畫出比較的標準量，然后再畫出與標準比較的另一數量。由此可見，圖2反映出學生未掌握兩數量比較相差關系和倍率的數學模型。

二、以 “形”直觀表征數學問題的教學策略

如何讓學生借助線段圖“形”的直觀表征數學問題？我們知道，線段圖能將數量模型無關的情境、信息排除在外，運用線段圖表征數學問題是溝通數學問題與已有數學模型的中介橋梁，使數量之間關系更直觀、更明確地呈現，那么，學生根據數學問題怎樣構造線段圖？怎樣讓學生積累從文字符號到圖形符號的轉化經驗？

1. 掌握線段圖的基本構造元素

線段圖是以線段呈現數學問題中的數量，因此首先讓學生認識構造線段圖的基本元素。

“”表示數量反映在線段上的起點與終點。

“ ？”表示未知數量。

不同長度的線段表示大小不同的量。

長度相等的線段表示同樣多的兩個或兩個以上的數量。

2. 理解和掌握線段圖兩種基本形式的畫法

馬芯蘭將小學階段主要數量關系整理歸結為兩類：整體與部分關系的數量形式、比較的數量關系。

當反映部分與整體的數量關系時用單線式線段圖表示，如數學問題：水果店運來蘋果和雪梨，蘋果有3筐，每筐25kg，雪梨有4筐共重80千克，畫圖如圖3。

當反映比較的數量關系（如相差關系、倍比關系）時用多線式線段圖表示，如數學問題：水果店運來蘋果和雪梨，運來蘋果25kg，運來雪梨重量比蘋果的4倍少15kg，雪梨多少千克？畫圖如圖4。

無論單線式線段圖還是多線式線段圖，首先應確定數學問題中呈現了哪些數量，其次是每一個數量是怎樣產生關系的。如圖3，數學問題呈現了蘋果重量和雪梨重量兩個數量，蘋果重量則是每筐25kg，有3筐；雪梨有4筐，每筐重20kg。若數學問題中呈現的兩個數量是比較關系的，如圖4，則先抓反映兩量比較關系的句子，找出以哪一數量為比較的標準，然后畫出標準量的線段，再畫出與之比較的數量。盡管上面兩道數學問題都呈現蘋果與雪梨兩個數量，但兩個數量關系不相同，前者反映蘋果、雪梨各個部分與總數之間的數量關系，用單式線段圖，后者反映蘋果、雪梨兩部分之間的比較關系，用多線式線段圖。

理解和掌握線段圖的兩種形式的畫法，有利于幫助學生辨析數學模型，進而更好地理解數學模型。

三、運用線段圖表征數學問題的作用

為什么運用線段圖表征數學問題有利于學生解決問題？關鍵在于小學生的年齡特點和認知特點，需要借助直觀形象的材料尋找抽象的數量關系。

1. 數量關系明朗化

線段圖將無關的背景及信息摒除在外，有利于將數量關系明朗化。如線段圖3中，通過線段圖能直接看出雪梨共80千克，而雪梨有4筐屬多余信息，那么解決蘋果和雪梨總重量就是將兩部分重量合起來就行了，數量關系一目了然。

2. 解題思路明晰化

運用線段圖分析數學問題主要將數學問題中“數量”與線段圖的“線段”一一對應，抽象的數量關系直觀等價地反映在線段圖中，學生能運用線段圖尋找已知信息與未知信息之間的關系，有利于明確解題的思路。如圖4，求雪梨重量就是蘋果重量的4倍再少15千克即可。又如案例中數學問題：小明的體重是35kg，小明體重比爸爸輕，爸爸體重是多少千克？畫圖如圖5。

由圖中可知，小明體重是爸爸體重的（1-），即35千克對應的比率是，也鼓勵學生畫圖如圖6。

即：把一些原本未知的信息通過合理的推理或聯想畫在線段圖上，促使解題思路更明晰。

運用線段圖表征數學問題是借“形”構造數量關系，是數形結合思想的體現。在日常教學中教師應充分挖掘線段圖的價值，鼓勵學生運用線段圖建構數量關系，培養學生數形轉換的意識，為提高學生的思維能力和分析解題能力打下基礎。

責任編輯 羅 峰