什么是無理數(shù)？

周瑜珍

實驗課題

無理數(shù)的概念.

實驗背景

無理數(shù)概念的建立要有一定的抽象思維和初步的極限概念.以往同學們對無理數(shù)概念的意義理解不夠，有時會有一些誤解，如認為“無理數(shù)就是帶根號的數(shù)”，現(xiàn)“蘇科版”教材在初一實數(shù)一章中直接給出無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，但這可能也會讓同學們體會不到數(shù)的擴充的必要性.

因此現(xiàn)對無理數(shù)概念的建立做一個新的設計：首先通過活動，讓同學們親身經歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，體會無理數(shù)概念的意義，再進一步通過探索活動增進對無理數(shù)概念意義的理解，即無限不循環(huán)的認識.

實驗目的

通過活動，讓同學們親身經歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，通過探索活動增進對無理數(shù)概念的理解.

實驗難點

尋找一個平方為2的數(shù).

實驗準備

單位為1的數(shù)軸、單位為1的兩個正方形、圓規(guī)、刻度尺.

實驗過程

活動一：有兩個邊長為1的小正方形，剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形.

【活動說明】通過剪紙、拼圖等操作，將兩個正方形組合成一個大正方形，發(fā)現(xiàn)大正方形的面積為2.

活動二：討論：若設大正方形的邊長為a，則a要滿足什么條件？

活動想法記錄：

【活動說明】體會a2=2的幾何意義，感受正方形邊長和面積之間的關系，為將a數(shù)值化做準備.

活動三：能否在下面的數(shù)軸上找到表示數(shù)值為a的點（單位長度與小正方形單位長度一致）.

【活動說明】可以通過圓規(guī)的量取或是直接將大正方形邊長疊加在數(shù)軸上等試驗方式獲得a點，通過動手操作及圖形直觀，讓同學們了解該點能在數(shù)軸上表示，即a是實數(shù)，為下面的學習做鋪墊.

活動四：根據(jù)以上的實驗，請猜想這個數(shù)的值為多少？

1. 若a是整數(shù)，請寫出具體的數(shù)值；若不是，請說明理由.

2. 若a是分數(shù)，請寫出具體的數(shù)值；若不是，請說明理由.

3. 你有什么發(fā)現(xiàn)？

【活動說明】通過剛才的實驗，同學們可以確定a顯然不是一個整數(shù)，是介于1與2之間的一個數(shù).第二小問是幫助同學們進行思考和討論的，最后可以得出：a既不是整數(shù)也不是分數(shù)，它不屬于有理數(shù)，但屬于實數(shù).a確實是存在的，但不是有理數(shù)，那是什么數(shù)呢？a又究竟是多少呢？通過反復計算、實驗可以發(fā)現(xiàn)a是無限不循環(huán)小數(shù)，可類比除不盡的分數(shù)，分數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).這發(fā)現(xiàn)也可糾正分數(shù)即有限小數(shù)的錯誤判斷.

實驗小結

1. 無理數(shù)定義：

無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).

2. 嘗試畫出實數(shù)分類的思維導圖：

【活動小結】

數(shù)學概念具有二重性，即過程性和對象性， 從而決定了數(shù)學思維、理解的兩步性.數(shù)學學習總是與一定的知識背景，即“情境”相互聯(lián)系.在實際情境下進行學習，可以使同學們利用自己的原有認知結構中的有關知識和經驗“同化”和“索引”出當前要學習的新知識，促進對新知識的意義認識.

同學們的已有經驗是影響概念學習的重要因素之一.有的同學能夠從過去的經驗中找出與新概念相關的概念，在比較它們異同的基礎上建立新的概念，而有的同學則會受這種經驗的干擾，產生錯誤的概念理解，認為a不是整數(shù)，那么a就是小數(shù)，而小數(shù)就是分數(shù)，所以a肯定是分數(shù).這就是有理數(shù)的認知結構對新知識的學習的干擾.

同學們在實驗過程中可一起討論和交流，在交流中使數(shù)學概念得以深入和發(fā)展.這樣的討論和交流不僅可以更正錯誤認識，彼此達成一致觀點，而且還能建立一個主動探索、自主學習、體驗數(shù)學再發(fā)現(xiàn)的數(shù)學學習習慣.

（作者單位：江蘇省太倉市雙鳳中學）