在高中數(shù)學中如何進行微積分教學

周建設

微積分的創(chuàng)立是數(shù)學發(fā)展中的里程碑，他的發(fā)展和廣泛應用開創(chuàng)了向近代數(shù)學過渡的新時期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段。進入新世紀，我們把微積分的內(nèi)容引入到了中學，為以后進一步學習微積分打下基礎。正因為是剛剛引進的新內(nèi)容，所以如何進行課堂教學，本人認為應該進行一些探討。本文就新課標對這部分內(nèi)容的要求與特點以及如何在課堂教學中講授這一章知識進行了探討，以期獲得一些較為可行的教學方法。

教學大綱微積分數(shù)學教學我國近20年間高中數(shù)學課程內(nèi)容一直相對穩(wěn)定，盡管教學大綱和教材也經(jīng)過了幾次修訂，但教學內(nèi)容仍然是代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何四大部分。然而，從2001年起，全國所有省市都已開始使用依照新大綱思想編寫的教材，在新教材中微積分、概率統(tǒng)計和向量這些在大學中重點學習的知識走進了高中，這無疑給高中數(shù)學教師提出了新的課題。在新的形勢下，采用合理的教學策略有效地組織新內(nèi)容的教學，變得十分迫切。本文將探討一下，在高中數(shù)學中如何進行微積分教學，如何貫徹微積分思想，以期獲得一些較為可行的教學方法。

微積分學可以說是博大精深，高中學生不可能像大學生那樣來學習它，那么對我們的高中生來說應該怎樣學呢？高中教師又應該怎樣教呢？我們的高考對這部分內(nèi)容又是怎樣要求的呢？下面我們就來討論一下這些問題。

一、微積分進入高中課堂并納入高考范圍的原由

微積分從本世紀初開始進入中學并作為高考的重點，那么新世紀制訂并使用的新大綱，為什么要打破二十多年的穩(wěn)定局面，在課程設置上做如此大的改革呢？

這是由微積分學在數(shù)學以至整個自然科學中的重要地位所決定的。微積分學是人類思維的偉大成果之一，它的產(chǎn)生和發(fā)展被譽為“近代技術文明所產(chǎn)生的關鍵事件之一，它引入了若干極其成功的、對以后數(shù)學的發(fā)展起決定性作用的思想”。微積分的思想方法是17世紀產(chǎn)生的關鍵性的數(shù)學思想方法，不僅是學生以后學習高等數(shù)學以及許多數(shù)學分支的基礎，而且對于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，增強學生的解題能力也有很大的促進作用。微積分作為一個強大的工具，也可以幫助我們解決一些用初等數(shù)學思想處理比較繁瑣的數(shù)學問題，如變速運動的瞬時速度、變力作功、曲線的切線與長度、封閉曲線形的面積、立體體積等。從微積分學的創(chuàng)立至現(xiàn)在的三百年中，微積分學不僅對數(shù)學，而且對整個人類文明產(chǎn)生了不可估量的影響。而且我國進行了二十多年的改革開放，教育也得到了很大發(fā)展，當今不論教師的整體素質(zhì)還是學生的數(shù)學能力，與二十年前相比已有了很大提高。所以學習微積分的初步知識，決不是高不可攀的，微積分知識進入中學是可行的。

二、教學大綱對“微積分”部分的要求與特點

雖然新大綱仍然將微積分作為選修內(nèi)容，但卻是廣大希望進入高校繼續(xù)深造的學生的“必修”功課。新大綱對這部分的要求總體上看，有如下幾個特點：

1.對微積分的定位比較好，充分考慮到學生的實際水平。沒有過多地涉及極限的理論知識，也沒有要求嚴格的論證，只需直觀認識。例如選修Ⅱ只需讓學生借助幾何直觀理解連續(xù)函數(shù)有最大最小值的性質(zhì)，這樣既能對極限的一些重要性質(zhì)有所認識，也不會因嚴格的論證望而卻步。但涉及到核心內(nèi)容“變化率的思想”，即引入導數(shù)時，大綱則沒有一味降低難度。因為變化率的思想是人類思維進步的里程碑，是高中生學習微積分的價值所在——既為大學作鋪墊，也為日后不學微積分的學生提供理解變化率思想的機會。

2.重視微積分在中學階段的應用。盡管選修Ⅰ和選修Ⅱ課時相差很大，但都用了足夠的課時講授導數(shù)的應用（選修Ⅱ還有定積分的應用）。因為如果不談應用，學生不僅學習該內(nèi)容無甚興趣，而且也不能對微積分有一個全面的了解。況且，在講授微積分的應用時，也能加深學生對中學數(shù)學其他知識的理解。比如，講導數(shù)的應用有助于進一步理解函數(shù)的變化狀態(tài)，從觀察基本函數(shù)的斜率開始，判斷它的單調(diào)性，下降、上升區(qū)間和極值。

3.教學大綱要求“通過微積分初步的學習，了解微積分學的文化價值”，說明教師不僅應講授微積分的基本知識和原理，還應該讓學生了解微積分發(fā)展的社會背景及有關人物的資料，體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。形成一定的數(shù)學思維并能上升到哲學的高度。

三、高中數(shù)學課堂中組織微積分教學應遵循的一些原則和策略

中學生與大學生的認知水平不同，高中教師與大學教師的教學水平不同，所以微積分在高中課堂中的教學與大學中的教學是有很大區(qū)別的。本人結(jié)合在教學中學生學習微積分出現(xiàn)的困難，探索了一些較為可行的教學方案，總結(jié)起來有一下幾點：

1.不斷加強變量概念的教學，樹立以變量為思維對象的數(shù)學觀

由于學生在長期的數(shù)學學習中接觸的均為常量，即使在高中階段系統(tǒng)學習函數(shù)、自變量，并研究了一些基本函數(shù)的性質(zhì)和圖像，但其思維和認識方式仍然比較習慣于常量，常量數(shù)學在頭腦中已根深蒂固，缺乏變量思維。但在學習極限、連續(xù)、導數(shù)、微分等概念時，沒有變量的思維是不行的。所以在組織教學時，需加強變量概念的教學，讓學生逐步熟悉和適應變量，并能思考變化過程。

中學數(shù)學引入導數(shù)的內(nèi)容使教學內(nèi)容增添了更多的變量數(shù)學，拓展了學習和研究的領域。增加這部分內(nèi)容，可以加強對考生的辯證思維的教育，使考生能以導數(shù)為工具研究函數(shù)的變化率，為解決函數(shù)極值問題提供更有效的途徑、更簡便的手段，加強對函數(shù)及其性質(zhì)的深刻理解和直觀認識。同時，使學生掌握一種科學的語言和工具，學習一種理性的思維模式。

2.要以直觀描述為主，鼓勵“合情推理”和“合情猜想”

這是對微積分在中學教學中較為合理的定位。對此部分的教學應當以直觀性的描述為主，以掌握方法、計算為主，對理論上的嚴謹性不宜要求過高，更無須嚴格的證明。涉及的一些概念和結(jié)論，既要使學生正確地理解和掌握，也要適可而止。例如，極限中最基本的一個結(jié)論，學生通過作圖很容易從孤立點的變化趨勢得到此結(jié)論。學生此時“合情推理”并得到的“合情猜想”，在高中階段的學習便已經(jīng)足夠了，無須用數(shù)學分析的方法加以嚴格論證。

3.防止微積分教學退化成僅讓學生記住一些公式和結(jié)論

考慮到高中生的實際水平，不需要在理論上過分要求嚴格。但無論是用直觀圖形引入還是給予一定的推理，都應讓學生主動的參與，引導學生觀察和發(fā)現(xiàn)圖形的“變化趨勢”或親自動手進行推導，這樣才有利于培養(yǎng)學生的“變量思維”，感受微積分的內(nèi)涵和與初等數(shù)學的差異。否則，如果為了純粹的“應試心理”，微積分教學變成了讓學生在不理解的狀況下死記一些公式和結(jié)論，那么在高中教授微積分就失去了意義和價值，學生的能力也不會提高。

4.加強對復合函數(shù)求導的訓練

復合函數(shù)是高中學生學習的難點，所以復合函數(shù)的導數(shù)也將是學生容易出錯的地方，關鍵是有一些學生不會合理地引入中間變量，函數(shù)的復合過程中各個環(huán)節(jié)分別是什么樣的函數(shù)關系沒有搞清楚。對此，本人認為應先讓學生多做一些分解函數(shù)復合過程的練習，然后按照復合過程逐步計算出復合函數(shù)的導數(shù)，待分步動作熟練之后再省略中間過程。

總之，如何進行微積分教學在高中數(shù)學是一個全新的課題，相對于代數(shù)和幾何等經(jīng)典內(nèi)容已經(jīng)臻于完善的教學研究，微積分的教學研究還不成熟，處于摸索的階段。但也正因為如此，探討微積分的教學才更有價值和意義。微積分從新世紀已正式進入中學，它作為人類文化的寶貴財富，正在武裝一代又一代的新人，終將成為世人皆知的常識。它那閃耀著智慧光芒的深刻思想，一定會哺育人類走向更高的歷史階段。