操作·思考·應用·反思

李曉梅

所謂數學活動經驗，就是在教學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍所形成的認識，數學活動經驗的積累過程是學生主動探索的過程。也就是說，活動經驗是在學生的數學實踐中隨著思維過程而不斷積累的。在“圖形與幾何”領域中，動手實踐是應用最廣泛的一種學習方式。本文以“圓的周長”教學為例，對如何引導學生在有效操作中積累數學活動經驗展開探討。

一、在操作中豐富數學活動經驗

在數學活動過程中，學生需要通過一些外顯的動手操作活動，對學習材料形成直觀認識。動手操作雖然不一定能直接解決問題，但學生能從中獲取抽象素材，并在操作體驗中形成對學習材料的直接經驗。這種直接經驗往往是他們在具體活動過程中所留下的、具有個體特征的數學活動經驗，一般是學生個人感覺或知覺方面的。在小學數學學習中，學生從一年級就開始形成并積累一些動手操作方面的數學活動經驗，不斷累積的操作經驗有助于他們在新知學習中進行操作，有助于他們進一步豐富數學活動經驗。

教師先創設一個問題情境：圓桌和菜板都有點開裂，要在它們的邊緣箍上一圈鐵皮。分別需要多長的鐵皮？學生或者遇到過這樣的現實問題，或者能很快想到以前學過的周長知識，從而有效激活學生已有的生活經驗、知識經驗或測量圓的周長的操作經驗，為學生新知探究中的測量操作活動奠定基礎。怎樣求圓的周長呢？有的學生想用卷尺或皮尺直接繞一圈量，有的學生想把圓形物體在直尺上滾一圈后量出長度，有的學生想用線在圓形物體上繞一圈后量線的長度等。教師出示兩個不同的圓形物體（一大一?。?，問學生除了上面的這些方法外，還可以怎樣求圓的周長？為了引導學生迅速進行新知探究，教師追問學生圓的大小與什么有關系？學生很快猜測圓的周長可能與直徑和半徑有關系。又有怎樣的關系？教師讓學生取出課前各自準備的圓形物品，分別量出它們的周長和直徑，算出周長和直徑的比值，并把結果填入下表中，看看有什么發現。

學生在測量和計算中獲得了對圓的周長和直徑關系的直觀感受。盡管只是學生個人的認知，是比較原始、膚淺和模糊的，甚至可能是片面的，但這種直接經驗不但能豐富學生的操作活動經驗，而且是學生形成新經驗的重要素材。當然，學生的操作離不開教師的適當引導，其目的是幫助學生初步形成正確、清晰的活動經驗。

二、在思考中形成數學活動經驗

小學階段的概念、公式、規律一般是由合情推理（由特殊到一般的推理）產生的。學生動手操作后，教師要為他們提供自由想象、自由發揮和自主探索的時間和空間，使數學學習過程成為他們再發現和再創造的過程。學生在“數學地思考”的過程中，常常能獲得一些歸納、類比或證明等思維活動經驗，并且這種經驗是對剛剛形成的操作經驗的一種提升。因此，教師要引導學生充分經歷抽象、歸納的過程，幫助學生積累合情推理的經驗。

學生操作后，迫切地想知道自己的發現對不對，也想了解其他同學的操作結果和發現。同學間交流就成了學生最想做的事情。有的學生由于課堂時間有限，只能對一個圓形物體進行測量和計算，觀察結果可能有失偏頗。交流時，學生先了解各自測量了哪些物品，接著了解相同物品的周長，如1元硬幣，反饋中有7？郾4厘米、7？郾5厘米、7？郾3厘米，直徑分別是2？郾4厘米或2？郾5厘米。然后，開展周長和直徑的比值的討論，保留一位小數（約等于3？郾1）、保留兩位小數（有明顯區別）、保留三位小數（結果不準確且麻煩），最后想象結果保留四位、五位小數的情況。學生在交流中不但能了解測量的實際價值和局限，而且能加深對測量活動的認識。整體觀察表格時，學生很容易發現圓的周長總是直徑的3倍多一些。由此引入圓周率可謂水到渠成，用字母π表示圓周率、發現圓的周長公式也就順理成章了。

學生在獨立測量、計算和填表中，初步感知圓的周長是直徑的3倍多一點，但個例不能表示普遍規律，這就為他們的合情推理提供了猜測依據，同學交流使他們在相互交流中共享學習資源，在豐富的例證中體驗圓的周長和直徑之間的關系是一種普遍現象，最終提煉出圓周率的概念。學生在“感知猜測—交流驗證—抽象概括”中，不僅理解和掌握了圓周率的概念，體驗了規律抽象與歸納的過程，還豐富了對測量的認識。如此由直觀走向抽象，有助于學生初步形成“個例—規律”的合情推理經驗，有助于學生進一步形成操作（測量）經驗。

三、在應用中提升數學活動經驗

經驗的內隱性表明，學生有時很難明白或表達在數學活動中獲得的經驗，如果多次經歷類似的數學活動，就會把前一活動過程中獲得的經驗應用到新活動中，從而還原前一活動所獲得的經驗。引導學生靈活應用經驗解決數學實際問題能幫助他們不斷“還原”數學活動經驗，并產生新的數學活動經驗———應用的經驗。因此，教師要引導學生主動聯系生活實際、在實際情境中解決問題。

教師先引導學生解決生活中的實際問題：一輛自行車后輪胎的半徑大約是33厘米。這輛自行車后輪轉1圈，大約可以走多遠？小明家離學校1千米，后輪轉480圈夠嗎？通過此題，學生在應用圓的周長公式解決實際問題中加深對圓周率的認識，接著引導學生計算r=3cm、d=6cm和r=5cm時各圓的周長，幫助學生鞏固所學的周長公式，再引導學生根據圓桌面的周長是4？郾72米求直徑，解決實際問題。布置習題如下：

1. 一個圓形噴水池的半徑是5米，那么它的周長是多少米？

2. 在一個圓形亭子里，小麗沿著直徑從一端走12步到達另一端，每步長大約是55厘米。這個圓的周長大約是多少米？

3. 小紅量得一個古代建筑中大紅圓柱的周長是3？郾77米。這個圓柱的直徑是多少米？（得數保留一位小數）

4. 一只掛鐘的分針長20厘米，經過30分鐘后，分針的尖端所走的路程是多少厘米？經過45分鐘呢？

5. 一個圓形牛欄的半徑是15米，要用多長的粗鐵絲才能把牛欄圍上3圈？（接頭處忽略不計）如果每隔2米打一根木樁，大約要打多少根木樁？

6. 雜技演員表演獨輪車走鋼絲，車輪的直徑為40厘米，要騎過50米長的鋼絲，車輪大約要轉動多少周？

各種生活實際內容的交叉安排，不但能促進知識的相互融合，而且能啟發學生進行不同層次的數學思考，激發學生在解決問題的過程中進一步感悟圓周率概念。解決這些不同的實際問題，需要學生靈活應用圓的周長公式，從正向運算到逆向運算，從根據周長計算直徑到根據周長計算半徑……對多數學生而言，如果他們具備應用意識并順利解決這些問題，就說明他們已經形成相關知識經驗。正如朱德全教授所說的，應用意識的生成是學生知識經驗形成的標志。

四、在反思中內化數學活動經驗

引導學生恰當反思是幫助他們積累數學活動經驗的一個重要渠道。教師引導學生反思的過程，就是引導他們對已有和剛形成的數學活動經驗進行“數學化”的過程，就是幫助他們對既有經驗實現篩選、整理、優化和提升的過程，也是幫助學生實現經驗的改造或重組的過程，有助于學生把數學活動經驗由模糊變清晰、由片面變完善、由錯誤變正確、由零散變結構化。

課末，可由教師引導學生反思，學生在教師引導下有序反思，有助于學生把一個個知識“點”梳理成知識“鏈”，甚至形成一張知識“網”。反思時，學生除了對操作的經驗和思考的經驗會有所感悟外，他們在“再創造”過程中的成功或失敗體驗也會獲得發展。學生在積累一些數學基本活動經驗的基礎上，他們的感性認識和情緒體驗便同時產生了，其他各種數學活動經驗也能得到平衡發展。

（作者單位：江蘇省泰興市教師發展中心）