淺談改進并行SPH方法在三維粘彈性表面中的應用

梅流娟 劉茜 蔣濤 劉曉月 謝佳芯 申惠惠

摘 要：一種完全不依賴于網格的光滑粒子動力學（SPH）方法，已廣泛應用于粘彈性流體自由面問題的模擬，但將其對推廣到三維粘彈性流動問題的求解還鮮見。該文在通過探討SPH方法應用于三維流動問題研究現狀的基礎上，分析其在三維問題模擬中的缺點及產生原因，并給出了提高精度、抑制壓力震蕩和基于MPI并行技術提高計算效率的方案。

關鍵詞：SPH 粘彈性流體 MPI并行 數值模擬

中圖分類號：O35 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（c）-0159-02

近年來，隨著工業的迅速發展，工業生產過程中常涉及聚合物自由面流動問題。聚合物流體（粘彈性流體）的流動特性對工業生產過程及產品性能有直接影響。因此，研究粘彈性流體自由面流動問題對工業生產過程有重要的指導意義。粘彈性自由面流動問題的數值模擬是計算流體力學研究領域中的一個熱點和難點。目前，已發展了許多網格類方法對粘彈性流動問題進行數值研究[1]。然而，網格類方法在處理流體自由面問題時存在一些自身的無法從根本上消除的缺陷。為此，眾多研究者開始轉向采用無網格方法研究自由表面流動問題[2]。

1 光滑粒子動力學方法的提出

為了模擬粘彈性自由表面流動問題，已經提出了很多基于網格的數值方法，例如在低速率低壓力情況下提出的有限差分法（FDM）和有限體積法（FVM）。然而在高速率或高壓力情況的填充過程中，基于網格的方法在處理十分復雜的自由表面行為時存在諸多困難，例如模擬三維問題時需要網格重構，使之出現較大的計算復雜度[1]，因此，近些年來無網格方法在復雜流動問題的模擬上受到廣泛關注。

光滑粒子動力學（Smoothed Particle Hydrodynami

cs，SPH）方法是一種基于Lagrange描述的純無網格方法，它完全不依賴于網格。1994年，Monaghan首次將SPH方法應用于自由表面流的數值模擬[2]，隨后，SPH方法被廣泛應用于牛頓或粘性流體流動的變形問題[3]。

2 SPH方法的主要優點

SPH方法應用于自由表面流動問題時的主要優點[4]在于：（1）求解流體控制方程時，無對流項不涉及復雜對流占優問題的處理，容易將其推廣到三維問題的模擬；（2）它能自動準確地追蹤自由界面，不需要額外的表面追蹤技術。然而，將SPH方法應用于粘彈性流動問題時仍存在一些缺點，特別對于三維粘彈性流動問題的模擬。

3 傳統SPH方法的缺點

將SPH方法推廣應用到三維粘彈性流動問題模擬時會出現下面幾個缺點。

（1）數值精度低、穩定性差。在復雜流動問題模擬過程中，粒子分布常出現分布不均勻的情況，這樣會降低SPH方法數值精度，且導致較差的穩定性。同時，粘彈性流體控制方程的求解對數值精度和穩定性要求較高。因此，將SPH方法應用到三維粘彈性流動問題模擬時，提高其數值精度和穩定性顯得尤為重要。

（2）壓力震蕩嚴重，張力不穩定。雖然用SPH方法模擬變形問題時具有獨特的優勢，但其卻常出現嚴重的震蕩，且易導致張力的不穩定（指傳統SPH方法在應用于固體力學材料拉伸問題中出現的一種非物理粒子簇集現象[5]）。Monaghan和Gray等人提出的人工應力法[6]是目前應用來克服張力不穩定的較為廣泛的方法。

（3）計算效率低由于傳統SPH方法在自由面問題的模擬過程中，每一個時間層的迭代需對所有粒子進行搜索以確定第個粒子的相鄰粒子，這樣將其應用于三維問題模擬時會導致非常大的計算代價。因此，將SPH方法推廣到三維自由面問題時如何降低計算代價成為亟待解決的問題。

4 解決方案

通過上述分析，為解決傳統SPH方法應用到三維粘彈性流動問題的模擬，該文試探性將一種改進的SPH方法推廣到三維粘彈性自由表面流問題的模擬，以提高數值精度、改善穩定性，且借助基于MPI的并行技術聯合基于網格粒子搜索技術以提高計算效率。

4.1 針對傳統SPH方法數值精度低、穩定性差和壓力震蕩的問題

該文以XPP（eXtended Pom-Pom model）模型為主、將二維改進SPH方法聯合一種新的密度擴散項，將其推廣應用到三維XPP模型流動問題的模擬，以提高數值精度、改善穩定性和抑制壓力震蕩，從而也改善了張力不穩定性。為避免改進SPH方法在自由面附近模擬時出現矩陣奇異現象，將傳統SPH方法應用于自由面附近，改進SPH方法應用于流體域內，得到模擬三維粘彈性流動問題的一種新的改進SPH方法，簡稱為CSPH-3D方法[7]。此外，針對復雜型腔內粘彈性流動問題的模擬，給出了一種容易施加的多固壁處理方法[7]。

通過對XPP模型為主的粘彈性自由面問題的模擬，可知，用提出的CSPH-3D方法模擬粘彈性流動問題是可靠、有效的[7]。

三維XPP模型流體的控制方程通常表述成：

上述離散格式中引入的密度擴散項可以使CSPH-3D方法應用到三維粘彈性自由表面流問題時能較好地抑制壓力震蕩[8]。上述給出的CSPH-3D方法模擬應用中聯合的固壁邊界處理技術[7]，能很好地防止粒子穿透現象，且容易將其推廣到更復雜邊界的處理。

4.2 針對SPH方法應用到三維流動問題模擬時的計算代價問題

為了降低三維粘彈性流動問題CSPH-3D方法模擬的計算代價，該文提出一種基于MPI（Message Passing Interface）并行技術和動態背景網格的相鄰粒子搜索方法。采用基于動態背景網格技術可以大大地降低計算代價，再加上粒子方法容易施加MPI并行化技術，將兩者聯立能更好地提高計算效率。因此，運用動態背景網格的MPI并行技術可以成功地減少計算機的消耗。

5 結語

該文首先闡述了SPH方法應用于三維流動問題的研究現狀，然后在此基礎上分析了其在三維問題模擬上存在數值精度低、壓力震蕩嚴重和計算效率低的缺點及其產生原因，最后根據相關文獻，針對存在的問題，給出了相應的改善方案。

參考文獻

[1] C.J.Hwang，T.h.Kwon.A Full 3D Finite Element Analysis of the Power Injection Molding Filling Process Including Slip Phenomena[J].Ploymer Engineering and Science，2002（42）：33-50.

[2] 劉謀斌，常建忠.光滑粒子流動力學方法中粒子分布于數值穩定性分析[J].物理學報，2010（59）：3654-3662.

[3] S.F.Li，W.K.Liu.Mesh-free particle methods and their applications[J].Applied Mechanic Review，2002（54）：1-34.

[4] R.Messahel，M.Souli.SPH and ALE Formulations for Fluid Structure Coupling[J].CMES：Computer Modeling in Engineering & Sciences，2013（96）：435-455.

[5] J.Swegle，W.D.L.Hicks，S.W.Attaway.Smooth particle hydrodynamics stability analysis[J].Journal of Computational Physics，1995（116）：123-134.

[6] 蔣濤.聚合物自由面問題的修正對稱SPH方法模擬研究[D].西安：西北工業大學，2012.

[7] Tao Jiang，Yuan-Sheng Tang， Jin-Lian Ren.A Corrected 3D Parallel SPH Method for Simulating the Polymer Free Surface Flows Based on the XPP Model[J].Tech Science Press.CMES，2014（101）：249-297.

[8] M.Antuono，A.Caolagrossi，S.Marrone，D.Molteni.Free-surface flows solved by means of SPH schemes with numerical diffusive terms[J].Computers Physics Communications，2010（181）：532-549.