淺談改進并行SPH方法在三維粘彈性表面中的應(yīng)用

梅流娟 劉茜 蔣濤 劉曉月 謝佳芯 申惠惠

摘 要：一種完全不依賴于網(wǎng)格的光滑粒子動力學(xué)（SPH）方法，已廣泛應(yīng)用于粘彈性流體自由面問題的模擬，但將其對推廣到三維粘彈性流動問題的求解還鮮見。該文在通過探討SPH方法應(yīng)用于三維流動問題研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，分析其在三維問題模擬中的缺點及產(chǎn)生原因，并給出了提高精度、抑制壓力震蕩和基于MPI并行技術(shù)提高計算效率的方案。

關(guān)鍵詞：SPH 粘彈性流體 MPI并行 數(shù)值模擬

中圖分類號：O35 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（c）-0159-02

近年來，隨著工業(yè)的迅速發(fā)展，工業(yè)生產(chǎn)過程中常涉及聚合物自由面流動問題。聚合物流體（粘彈性流體）的流動特性對工業(yè)生產(chǎn)過程及產(chǎn)品性能有直接影響。因此，研究粘彈性流體自由面流動問題對工業(yè)生產(chǎn)過程有重要的指導(dǎo)意義。粘彈性自由面流動問題的數(shù)值模擬是計算流體力學(xué)研究領(lǐng)域中的一個熱點和難點。目前，已發(fā)展了許多網(wǎng)格類方法對粘彈性流動問題進行數(shù)值研究[1]。然而，網(wǎng)格類方法在處理流體自由面問題時存在一些自身的無法從根本上消除的缺陷。為此，眾多研究者開始轉(zhuǎn)向采用無網(wǎng)格方法研究自由表面流動問題[2]。

1 光滑粒子動力學(xué)方法的提出

為了模擬粘彈性自由表面流動問題，已經(jīng)提出了很多基于網(wǎng)格的數(shù)值方法，例如在低速率低壓力情況下提出的有限差分法（FDM）和有限體積法（FVM）。然而在高速率或高壓力情況的填充過程中，基于網(wǎng)格的方法在處理十分復(fù)雜的自由表面行為時存在諸多困難，例如模擬三維問題時需要網(wǎng)格重構(gòu)，使之出現(xiàn)較大的計算復(fù)雜度[1]，因此，近些年來無網(wǎng)格方法在復(fù)雜流動問題的模擬上受到廣泛關(guān)注。

光滑粒子動力學(xué)（Smoothed Particle Hydrodynami

cs，SPH）方法是一種基于Lagrange描述的純無網(wǎng)格方法，它完全不依賴于網(wǎng)格。1994年，Monaghan首次將SPH方法應(yīng)用于自由表面流的數(shù)值模擬[2]，隨后，SPH方法被廣泛應(yīng)用于牛頓或粘性流體流動的變形問題[3]。

2 SPH方法的主要優(yōu)點

SPH方法應(yīng)用于自由表面流動問題時的主要優(yōu)點[4]在于：（1）求解流體控制方程時，無對流項不涉及復(fù)雜對流占優(yōu)問題的處理，容易將其推廣到三維問題的模擬；（2）它能自動準確地追蹤自由界面，不需要額外的表面追蹤技術(shù)。然而，將SPH方法應(yīng)用于粘彈性流動問題時仍存在一些缺點，特別對于三維粘彈性流動問題的模擬。

3 傳統(tǒng)SPH方法的缺點

將SPH方法推廣應(yīng)用到三維粘彈性流動問題模擬時會出現(xiàn)下面幾個缺點。

（1）數(shù)值精度低、穩(wěn)定性差。在復(fù)雜流動問題模擬過程中，粒子分布常出現(xiàn)分布不均勻的情況，這樣會降低SPH方法數(shù)值精度，且導(dǎo)致較差的穩(wěn)定性。同時，粘彈性流體控制方程的求解對數(shù)值精度和穩(wěn)定性要求較高。因此，將SPH方法應(yīng)用到三維粘彈性流動問題模擬時，提高其數(shù)值精度和穩(wěn)定性顯得尤為重要。

（2）壓力震蕩嚴重，張力不穩(wěn)定。雖然用SPH方法模擬變形問題時具有獨特的優(yōu)勢，但其卻常出現(xiàn)嚴重的震蕩，且易導(dǎo)致張力的不穩(wěn)定（指傳統(tǒng)SPH方法在應(yīng)用于固體力學(xué)材料拉伸問題中出現(xiàn)的一種非物理粒子簇集現(xiàn)象[5]）。Monaghan和Gray等人提出的人工應(yīng)力法[6]是目前應(yīng)用來克服張力不穩(wěn)定的較為廣泛的方法。

（3）計算效率低由于傳統(tǒng)SPH方法在自由面問題的模擬過程中，每一個時間層的迭代需對所有粒子進行搜索以確定第個粒子的相鄰粒子，這樣將其應(yīng)用于三維問題模擬時會導(dǎo)致非常大的計算代價。因此，將SPH方法推廣到三維自由面問題時如何降低計算代價成為亟待解決的問題。

4 解決方案

通過上述分析，為解決傳統(tǒng)SPH方法應(yīng)用到三維粘彈性流動問題的模擬，該文試探性將一種改進的SPH方法推廣到三維粘彈性自由表面流問題的模擬，以提高數(shù)值精度、改善穩(wěn)定性，且借助基于MPI的并行技術(shù)聯(lián)合基于網(wǎng)格粒子搜索技術(shù)以提高計算效率。

4.1 針對傳統(tǒng)SPH方法數(shù)值精度低、穩(wěn)定性差和壓力震蕩的問題

該文以XPP（eXtended Pom-Pom model）模型為主、將二維改進SPH方法聯(lián)合一種新的密度擴散項，將其推廣應(yīng)用到三維XPP模型流動問題的模擬，以提高數(shù)值精度、改善穩(wěn)定性和抑制壓力震蕩，從而也改善了張力不穩(wěn)定性。為避免改進SPH方法在自由面附近模擬時出現(xiàn)矩陣奇異現(xiàn)象，將傳統(tǒng)SPH方法應(yīng)用于自由面附近，改進SPH方法應(yīng)用于流體域內(nèi)，得到模擬三維粘彈性流動問題的一種新的改進SPH方法，簡稱為CSPH-3D方法[7]。此外，針對復(fù)雜型腔內(nèi)粘彈性流動問題的模擬，給出了一種容易施加的多固壁處理方法[7]。

通過對XPP模型為主的粘彈性自由面問題的模擬，可知，用提出的CSPH-3D方法模擬粘彈性流動問題是可靠、有效的[7]。

三維XPP模型流體的控制方程通常表述成：

上述離散格式中引入的密度擴散項可以使CSPH-3D方法應(yīng)用到三維粘彈性自由表面流問題時能較好地抑制壓力震蕩[8]。上述給出的CSPH-3D方法模擬應(yīng)用中聯(lián)合的固壁邊界處理技術(shù)[7]，能很好地防止粒子穿透現(xiàn)象，且容易將其推廣到更復(fù)雜邊界的處理。

4.2 針對SPH方法應(yīng)用到三維流動問題模擬時的計算代價問題

為了降低三維粘彈性流動問題CSPH-3D方法模擬的計算代價，該文提出一種基于MPI（Message Passing Interface）并行技術(shù)和動態(tài)背景網(wǎng)格的相鄰粒子搜索方法。采用基于動態(tài)背景網(wǎng)格技術(shù)可以大大地降低計算代價，再加上粒子方法容易施加MPI并行化技術(shù)，將兩者聯(lián)立能更好地提高計算效率。因此，運用動態(tài)背景網(wǎng)格的MPI并行技術(shù)可以成功地減少計算機的消耗。

5 結(jié)語

該文首先闡述了SPH方法應(yīng)用于三維流動問題的研究現(xiàn)狀，然后在此基礎(chǔ)上分析了其在三維問題模擬上存在數(shù)值精度低、壓力震蕩嚴重和計算效率低的缺點及其產(chǎn)生原因，最后根據(jù)相關(guān)文獻，針對存在的問題，給出了相應(yīng)的改善方案。

參考文獻

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