注重逆向思維在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的培養(yǎng)及應(yīng)用

楊孝貽

（福建省三明市尤溪縣第五中學(xué) 三明市 365000）

顧名思義，逆向思維就是指改變常規(guī)、反其道而行之的思維，是從問題的相反方向入手的一種思維模式.在數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，人們往往只局限于按照熟悉的、常規(guī)的思路去思考問題，然而有些問題僅憑這種思維是不易得到正確結(jié)果的，甚至無從入手.而逆向思維會(huì)讓你在解決問題的多種方案中獲得最佳的方法和途徑，得到意想不到的、事半功倍的效果.下面就逆向思維在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的培養(yǎng)及在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的應(yīng)用加以簡(jiǎn)述.

一、在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中注重逆向思維的培養(yǎng)

作為思維的一種形式，逆向思維是人們?cè)趯W(xué)習(xí)和生活過程中必備的一種思維品質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，注重對(duì)學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，不僅能夠開拓學(xué)生的解題思路，還有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.下面就以下兩個(gè)方面加以簡(jiǎn)述.

1．在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中激發(fā)學(xué)生逆向思維的興趣

興趣是最好的老師，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地激發(fā)學(xué)生逆向思維的興趣，提高學(xué)生逆向思維的主動(dòng)性和積極性.比如通過對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的典例或某些趣味問題的展示，就能很好地激發(fā)學(xué)生逆向思維的興趣.

例如“司馬光砸缸”是一個(gè)眾所皆知的歷史小故事，有人落水，人們常規(guī)的思維方式是“救人離水”，而幼小的司馬光無法按照傳統(tǒng)的方法做到這一

點(diǎn).面對(duì)險(xiǎn)情，他果斷地用石頭把缸砸破，做到“讓水離人”，從而救活了小伙伴.他的成功，就在于他有反常規(guī)的思維方式逆向思維.通過這個(gè)歷史小故事，讓學(xué)生感悟到“救人離水”與“讓水離人”是正反兩種不同的思維方式，體會(huì)逆向思維的妙用，從而激發(fā)學(xué)生對(duì)逆向思維的興趣.

2．在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的習(xí)慣

人們對(duì)事物的興趣往往會(huì)隨著時(shí)間和環(huán)境的改變而發(fā)生變化，學(xué)生更是如此.教師用個(gè)別典例或某些趣味問題來激發(fā)學(xué)生逆向思維的興趣，短時(shí)間內(nèi)也許能使學(xué)生在思考問題時(shí)，采用逆向思維的方式對(duì)所給的問題進(jìn)行逆向分析，但要想讓學(xué)生形成長期的逆向思維意識(shí)，卻非一蹴而就.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分采用逆向分析，將逆向思維的思想有意識(shí)地加以滲透和突出，并貫穿到每一堂課中，從中增強(qiáng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)，養(yǎng)成良好的逆向思維習(xí)慣.

二、在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中注重逆向思維的應(yīng)用

數(shù)學(xué)的概念、定理和性質(zhì)的理解；數(shù)學(xué)的公式、法則的應(yīng)用；數(shù)學(xué)命題的解答等等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要手段，教師在教學(xué)過程中應(yīng)高度重視對(duì)學(xué)生逆向分析能力的訓(xùn)練，把逆向思維意識(shí)融入到整個(gè)課堂教學(xué)過程之中，從而找到解決問題的捷徑，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.下面就以下三個(gè)方面加以簡(jiǎn)述.

1．用逆向思維來加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和性質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)的概念、定理和性質(zhì)是數(shù)學(xué)推理論證和運(yùn)算的基礎(chǔ)，我們?cè)谄綍r(shí)教與學(xué)的過程中，往往只拘限于從左到右的運(yùn)用，這就形成了正向思維定勢(shì)，對(duì)于逆用公式、法則和性質(zhì)很不習(xí)慣.因此在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，除了讓學(xué)生理解其本身的含義及常規(guī)應(yīng)用外，還要善于啟發(fā)學(xué)生反過來思考，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和性質(zhì)的理解.

例如在事件相互獨(dú)立的概念中，“若兩事件A、B滿足P（AB）=P（A）P（B），則稱事件與事件相互獨(dú)立”.這一結(jié)論為判斷事件的相互獨(dú)立性提供了有力的依據(jù)，但已知兩事件A、B相互獨(dú)立，能否利用P（AB）=P（A）P（B）來計(jì)算兩相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率呢？這就要對(duì)概念進(jìn)行反思得出結(jié)論：“兩事件A、B滿足P（AB）=P（A）P（B）”是“事件A與事件B相互獨(dú)立”的充要條件.

又如化簡(jiǎn)代數(shù)式（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）2+5（x-1）+1，我們慣用的思路是利用二項(xiàng)式定理逐個(gè)展開計(jì)算，這種傳統(tǒng)的解題方法不但繁雜而且會(huì)浪費(fèi)大量的時(shí)間，如果能仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，逆用二項(xiàng)式定理，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)代數(shù)式[（x-1）+1]5實(shí)際上是的二項(xiàng)展開式，那么化簡(jiǎn)的結(jié)果就呼之欲出了.還有立體幾何中，許多判定定理與性質(zhì)定理是互逆的，這就要讓學(xué)生開啟逆向思維的大門，探討其逆命題是否成立了.由此可見，逆向思維有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和性質(zhì)的理解.

2．用逆向思維來提高數(shù)學(xué)公式、法則的應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)的公式、法則往往都有雙向性，從左到右及從右到左的轉(zhuǎn)換正是由正向思維演化到逆向思維的能力體現(xiàn).加強(qiáng)逆向應(yīng)用公式、法則的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的逆向思維能力和發(fā)散思維能力，開闊思維空間，大大刺激學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主觀能動(dòng)性與探索數(shù)學(xué)奧秘的興趣.

例如求三角函數(shù)式的值的問題，學(xué)生慣用的思路是“切化弦→變形→求值”，但這種傳統(tǒng)的解題方法是個(gè)繁瑣的過程，要想迅速、準(zhǔn)確地得到運(yùn)算結(jié)果，就需認(rèn)真觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用逆向思維的思想，逆用三角公式就很容易得到所求的值了.又如計(jì)算對(duì)數(shù)式lg2+lg5，若按常規(guī)的正向思維方式，不用計(jì)算器就難以入手了，如果運(yùn)用兩數(shù)積的對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的逆推式，就很容易得到所求的值為1.由此可見，逆向思維有助于學(xué)生迅速準(zhǔn)確解答問題，提高公式、法則的應(yīng)用能力.

3．用逆向思維來拓展解決數(shù)學(xué)問題的思路

在數(shù)學(xué)解題過程中，人們通常是從給定的已知條件去探索所求的結(jié)論，然而有些數(shù)學(xué)命題,若總是按照這種思維定勢(shì)去解決，常常伴隨著較大的運(yùn)算量和復(fù)雜的解題步驟.此時(shí)，作為思維方式之一的逆向思維就凸顯了它的優(yōu)越性.

例1.將函數(shù)y=lnx的圖像繞平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ后第一次與y軸相切，則角滿足θ的條件是（）

A.esinθ=cosθ B.sinθ=ecosθ C.esinθ=1 D.cosθ=1

解析：首先要將函數(shù)y=lnx的圖像繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ，作出它第一次與y軸相切時(shí)的圖像，這就存在著作圖較難的問題.若采用逆向思維，將原題設(shè)反向考慮成“函數(shù)y=lnx的圖像保持不動(dòng)，將y軸繞著原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角（x.y軸保持垂直）后第一次與函數(shù)y=lnx的圖像相切”，那么作圖就相對(duì)容易，后續(xù)的解答也就順理成章了.

例2.德國數(shù)學(xué)家洛薩·科拉茨在1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即）；如果它是奇數(shù)，則將它乘3加1即（3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．如初始正整數(shù)為6，按照上述變換規(guī)則，我們得到一個(gè)數(shù)列：6，3，10，5，16，8，4，2，1． 對(duì)科拉茨猜想，目前誰也不能證明，更不能否定．現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換（注：1可以多次出現(xiàn)）后的第八項(xiàng)為1，則n的所有可能的取值為_______.

解析：用常規(guī)的順向思維方式來確定n的所有可能取值，較易想到的思路是把正整數(shù)n（n=1、2、3、...）按從小到大的順序逐個(gè)加以驗(yàn)證，從而找出滿足條件的n的所有可能取值，由于驗(yàn)證的次數(shù)較多，這種方法絕非上策.若用逆向思維來考慮這個(gè)問題，從第八項(xiàng)為1，按照上述規(guī)則的逆運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)證，則n的所有可能取值就相對(duì)容易得到了,n的所有可能取值為2、3、16、20、21、128.從答案中可以看出，n的值要按從小到大的順序逐個(gè)驗(yàn)證到128才終止.可要做到這一點(diǎn)，卻又談何容易.

總之，在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程中，注重逆向思維能力的培養(yǎng)和應(yīng)用，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理和性質(zhì)的理解，提高數(shù)學(xué)公式、法則的應(yīng)用能力，拓展解決數(shù)學(xué)問題的思路；更有助于學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣，具備良好的思維品質(zhì)，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)效果，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，提升學(xué)生的思維能力和整體素質(zhì).