發散型帶電粒子在圓形磁場中的運動

柴建波

摘要：帶電粒子在磁場中的運動問題一直以來是高考和各地模擬考的熱點與難點，對于學生而言之所以難是因為這類題目往往結合運動學和復合場的知識。其抽象的空間想象力和復雜的運動過程成了學生談“磁”色變的主因。在此，筆者結合課堂中的教學經驗，著重談談速度大小相同、方向不同的帶電粒子源在磁場中的運動問題。

關鍵詞：發散型帶電粒子；圓形磁場；運動

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）05-0120

一、動圓法處理粒子源的軌跡圓心和邊界

首先引入這樣的情景：在垂直于紙面的勻強磁場中，在某點S有一粒子源在紙平面內，朝各個方向發射速率相同的同種帶電粒子（重力不計），已知粒子的質量為m，電荷量為+q，磁感應強度為B，速度為ν，如圖1（a）所示。簡單分析下

很快便可以得出：這些粒子進入磁場后，都在做半徑為的勻速圓周運動。那么這些粒子軌跡的分布具有怎樣的特點呢？

這里，通過畫圓的方法，我們試著從幾種特殊的入射角度進行探究，以紙面為平面建立水平方向和豎直方向的坐標系。分別得到沿坐標軸四個方向入射粒子的軌跡如圖1（b）所示。由圖大致可以得：軌跡的圓心分布在半徑也為R的圓上即圖1（b）中的虛線圍成的圓，軌跡的邊界分布在半徑為2R的圓上。那么這個結論是否可靠呢？為了證實這一想法，可采取做任意入射角度的粒子軌跡，即作動圓的方法分析，最后由圖1（c）可證實。有了這個結論便可以幫助我們很快處理一些常見的題型。

例1. 在y>0的區域內存在勻強磁場，磁場垂直于xOy平面向外，原點O處有一離子源，沿各個方向射出速率相等的同價負離子，對于進入磁場區域的離子，它們在磁場中做圓周運動的圓心所在的軌跡可用下圖給出的四個半圓中的一個來表示，正確的是（ ）

分析：磁場垂直xOy平面向外并位于x軸上方，離子帶帶負電，利用左手定則判斷出離子運動方向。對于從第一象限射入的粒子，通過上述的畫動圓的方法可以得到粒子軌跡的圓心分布在第二象限中，第二象限射入的粒子軌跡圓心在第三象限中，因此這里的C選項是正確的。同理粒子從第三和第四象限入射，如果有磁場的情況下，圓心分別分布在第四和第一象限上，很顯然不符合題意。

例2. （2005全國卷Ⅰ20）如圖，在一水平放置的平板MN的上方有勻強磁場，磁感應強度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向里。許多質量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內的各個方向，由小孔O射入磁場區域。不計重力，不計粒子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經過的區域，其中R=■。正確的是（ ）

分析：根據前面的結論，速度大小相同，方向不同的粒子源軌跡所圍成的邊界為半徑2R的圓，現在的磁場只存在MN的上方，因此畫動圓的方法很自然可以選到正確的答案A。

二、磁聚焦和磁擴散及其具體應用

在前面的情景中，如果把磁場做些限制，即在某點S有一粒子源在紙平面內朝各個方向發射速率相同的同種帶電粒子（重力不計），以S為坐標原點建立XOY坐標系，在XOY平面內，有以O′（R，0）為圓心，為半徑的圓形磁場區域，方向垂直XOY平面向里。（已知粒子的質量為m，電荷量為+qM磁感應強度為BM速度為v），試問一粒子從坐標原點S以與x軸成角入射，判斷該粒子出磁場時的方向。

這時粒子的入射方向也被限制在第一和第二象限，取兩個任意的入射角，可得圖2（a）和圖2（b）所示，結合圖形，由于此時的圓周運動半徑和磁場的半徑均為R，分別連接兩圓的交點和兩個圓心，得到四邊形如上圖2，由數學知識可知四邊形為菱形，從而得出SO′始終平行于BO，而BO1必定垂直粒子的出射方向，即當R圓=R磁時，從磁場邊界上某一點沿不同方向入射的同類帶電粒子，在離開磁場時速度方向互相平行（如圖3所示）

拓展后可得從O點（y>0）射出的粒子（速率相同）通過磁場后均沿+x方向平行射出，如圖4（a）。同理沿+x方向平行射出的粒子（速率相同）通過磁場后匯聚在O點，如圖4（b）所示。那么這兩種情景我們稱之為磁擴散和磁聚焦。

例3. 如圖所示，紙面內有寬為L水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質量為m，電荷量為-q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點，可以在粒子流的右側虛線框內設計一勻強磁場區域，則磁場區域的形狀及對應的磁感應強度可以是（其中B0=，A、C、D選項中曲線均為半徑是L的圓弧，B選項中曲線為半徑是的圓）（ ）

分析：這是典型的“磁聚焦”問題，帶電粒子流水平向右飛入勻強磁場做勻速圓周運動，由于不同的位置，但速度大小方向均相同，則它們的運動軌跡的半徑相同。而它們的圓弧長度不一，則飛行時間不同。由于帶電粒子流的速度均相同，則當飛入A、B、C這三個選項中的磁場時，它們的軌跡對應的半徑均相同。唯有D選項因為磁場是2B0，它的半徑是之前半徑的2倍，不能匯聚于一點。然而當粒子射入B、C兩選項時，也不可能匯聚于同一點。結合圖4（b）知A選項滿足題目要求，能匯聚于一點，故選A。

三、展望高考，個人感悟

實際上，高考對于這一類特殊粒子源的考查早已展開，細數歷次高考卷和各地模擬卷，我們多多少少可以找到一些痕跡，且出現的形式往往是計算大題。在課堂實踐中，為了消除學生對于這類問題的恐懼，作為教育工作者，我們有責任也有義務化繁為簡，把物理學中最美的一面展現出來，用最簡潔的規律幫助學生走出題海的深淵。

（作者單位：浙江省寧波市象山縣象山中學 315700）